Verifique se as seguintes sequências convergem calculando os limites dos termos gerais indicados: lim n infty raizn+1-raizn
i) lim n infty raizn+2raizn

Passo 1

Então, a gente tem duas sequências pra verificar se convergem ou não, calculando os limites dos termos gerais. A primeira sequência é limn infty raizn+1 - raizn e a segunda, que está marcada como item i), é limn infty raizn+2raizn. Vamos precisar entender como trabalhar com limites envolvendo raízes quadradas e usar algumas técnicas de álgebra pra simplificar esses limites.

Passo 2

Vamos começar com a primeira sequência: limn infty raizn+1 - raizn. Quando temos uma diferença de raízes quadradas, uma boa técnica é multiplicar e dividir pela expressão conjugada para simplificar.

Passo 3

Multiplicamos e dividimos pela conjugada, que nesse caso é raizn+1 + raizn:
raizn+1 - raizn = (raizn+1 - raizn)(raizn+1 + raizn)raizn+1 + raizn = (n+1) - nraizn+1 + raizn = 1raizn+1 + raizn

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite de 1raizn+1 + raizn quando n tende ao infinito. Tanto raizn+1 quanto raizn crescem sem limite, então o denominador tende a infinito, fazendo com que toda a expressão tenda a zero.

Passo 5

Portanto, temos:
limn infty raizn+1 - raizn = 0

Passo 6

Agora, vamos resolver o item i): limn infty raizn+2raizn. Para simplificar, podemos reescrever a fração dividindo o numerador e o denominador por raizn.

Passo 7

Fazendo isso, temos:
raizn+2raizn = raizn+2n = raiz1 + 2n

Passo 8

Agora, analisamos o limite de raiz1 + 2n quando n tende ao infinito. Como 2n tende a zero quando n cresce, a expressão dentro da raiz tende a 1.

Passo 9

Então, o limite fica:
raiz1 + 0 = raiz1 = 1

Resposta

  1. limn infty raizn+1 - raizn = 0
i) limn infty raizn+2raizn = 1

Exercícios relacionados