Verifique se as seguintes sequências convergem calculando os limites dos termos gerais indicados:
i)
i)
Passo 1
Então, a gente tem duas sequências pra verificar se convergem ou não, calculando os limites dos termos gerais. A primeira sequência é
e a segunda, que está marcada como item i), é
. Vamos precisar entender como trabalhar com limites envolvendo raízes quadradas e usar algumas técnicas de álgebra pra simplificar esses limites.
Passo 2
Vamos começar com a primeira sequência:
. Quando temos uma diferença de raízes quadradas, uma boa técnica é multiplicar e dividir pela expressão conjugada para simplificar.
Passo 3
Multiplicamos e dividimos pela conjugada, que nesse caso é
:
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito. Tanto
quanto
crescem sem limite, então o denominador tende a infinito, fazendo com que toda a expressão tenda a zero.
Passo 5
Portanto, temos:
Passo 6
Agora, vamos resolver o item i):
. Para simplificar, podemos reescrever a fração dividindo o numerador e o denominador por
.
Passo 7
Fazendo isso, temos:
Passo 8
Agora, analisamos o limite de
quando
tende ao infinito. Como
tende a zero quando
cresce, a expressão dentro da raiz tende a 1.
Passo 9
Então, o limite fica:
Resposta
i)