Encontre a expressão do período deste pêndulo físico quando oscila em pequenas amplitudes em termos de
, em que
é o período do pêndulo ideal de comprimento L. (Busque informações sobre o momento de inércia em relação ao eixo de rotação adequado de uma esfera e o teorema dos eixos paralelos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre pêndulos físicos e quer encontrar a expressão do período desse pêndulo quando ele oscila em pequenas amplitudes. A matéria que vamos usar aqui envolve o momento de inércia e o teorema dos eixos paralelos. Vamos precisar entender como esses conceitos se aplicam para relacionar o período do pêndulo físico com o período de um pêndulo ideal de comprimento $ L $, que chamamos de $ T_{0} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um pêndulo ideal. É aquele pêndulo simples, com uma massa concentrada em um ponto e um fio sem massa. O período desse pêndulo é dado por:
onde $ L $ é o comprimento do fio e $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre um pêndulo físico. Diferente do ideal, ele tem massa distribuída e, portanto, precisamos considerar como essa massa está distribuída em relação ao ponto de rotação. Para isso, usamos o momento de inércia ($ I $), que depende da distribuição da massa.
Passo 4
O momento de inércia de uma esfera sobre seu próprio eixo é:
onde $ m $ é a massa e $ r $ o raio da esfera. Mas, nosso pêndulo físico não está girando sobre o centro da esfera, e sim sobre um ponto na extremidade do fio. Para ajustar isso, usamos o teorema dos eixos paralelos.
Passo 5
O teorema dos eixos paralelos nos diz que se você sabe o momento de inércia de um objeto em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa, pode encontrar o momento de inércia em torno de um eixo paralelo a esse, situado a uma distância $ d $, usando:
No nosso caso, $ d = L $, o comprimento do fio.
Passo 6
Aplicando o teorema, o momento de inércia do pêndulo físico fica:
Aqui, $ \frac{2}{5} m r^{2} $ é o momento de inércia da esfera em torno do seu próprio eixo, e $ m L^{2} $ é a contribuição pelo deslocamento.
Passo 7
O período de um pêndulo físico é dado por:
Substituindo o $ I $ que encontramos:
Passo 8
Observe que o período do pêndulo ideal $ T_{0} $ é:
Queremos expressar $ T $ em termos de $ T_{0} $. Vamos reorganizar a expressão de $ T $:
Resposta
Portanto, o período do pêndulo físico em termos de $ T_{0} $ é: