Um Oscilador massa-mola tem energia total E0 e uma amplitude x0. (b) Para qual valor de x teremos a energia cinética igual à energia potencial elástica?

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre um Oscilador massa-mola, que tem uma energia total $ E_{0} $ e uma amplitude $ x_{0} $. A pergunta é: Para qual valor de $ x $ teremos a energia cinética igual à energia potencial elástica?
Vamos usar conceitos de Energia Cinética e Energia Potencial Elástica em sistemas de oscilação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia total $ E_{0} $ de um sistema massa-mola é a soma da energia cinética (KE) e da energia potencial elástica (PE):
E0
Também sabemos que, para um oscilador harmônico simples:
E0 = KE + PE
KE = 12 m v^2
Onde:
  • $ m $ é a massa,
  • $ v $ é a velocidade,
  • $ k $ é a constante elástica,
  • $ x $ é a posição no deslocamento.

Passo 3

Sabemos que a velocidade $ v $ em um oscilador harmônico simples pode ser expressa em termos da amplitude $ x_{0} $ e da posição $ x $:
v
Onde $ \omega $ é a frequência angular, dada por $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $.
Substituindo $ v $ na expressão da energia cinética:
x0

Passo 4

Queremos encontrar o valor de $ x $ onde $ KE = PE $. Então, igualamos as duas expressões:
x
Como $ \omega^{2} = \frac{k}{m} $, podemos simplificar a equação:
KE = PE
Simplificando ainda mais:
12 m omega^2 (x0^2 - x^2) = 12 k x^2

Passo 5

Agora, podemos cancelar o $ \frac{1}{2} k $ de ambos os lados:
12 k
Somando $ x^{2} $ dos dois lados:
x0^2 - x^2 = x^2

Passo 6

Para encontrar $ x $, dividimos ambos os lados por 2:
x
E tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
x^2 = x0^22

Resposta

O valor de $ x $ para o qual a energia cinética é igual à energia potencial elástica é:
x

Exercícios relacionados