Um Oscilador massa-mola tem energia total
e uma amplitude
. (b) Para qual valor de x teremos a energia cinética igual à energia potencial elástica?
Passo 1
Vamos lá! A questão fala sobre um Oscilador massa-mola, que tem uma energia total $ E_{0} $ e uma amplitude $ x_{0} $. A pergunta é: Para qual valor de $ x $ teremos a energia cinética igual à energia potencial elástica?
Vamos usar conceitos de Energia Cinética e Energia Potencial Elástica em sistemas de oscilação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia total $ E_{0} $ de um sistema massa-mola é a soma da energia cinética (KE) e da energia potencial elástica (PE):
Também sabemos que, para um oscilador harmônico simples:
Onde:
- $ m $ é a massa,
- $ v $ é a velocidade,
- $ k $ é a constante elástica,
- $ x $ é a posição no deslocamento.
Passo 3
Sabemos que a velocidade $ v $ em um oscilador harmônico simples pode ser expressa em termos da amplitude $ x_{0} $ e da posição $ x $:
Onde $ \omega $ é a frequência angular, dada por $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $.
Substituindo $ v $ na expressão da energia cinética:
Passo 4
Queremos encontrar o valor de $ x $ onde $ KE = PE $. Então, igualamos as duas expressões:
Como $ \omega^{2} = \frac{k}{m} $, podemos simplificar a equação:
Simplificando ainda mais:
Passo 5
Agora, podemos cancelar o $ \frac{1}{2} k $ de ambos os lados:
Somando $ x^{2} $ dos dois lados:
Passo 6
Para encontrar $ x $, dividimos ambos os lados por 2:
E tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
O valor de $ x $ para o qual a energia cinética é igual à energia potencial elástica é: