(a) Encontre uma expressão para o raio da órbita e para a velocidade do elétron em termos de constantes fundamentais,
e do número quântico
.
(b) Deduza uma expressão para a energia do elétron e calcule a diferença de energia entre os estados com
e
.
© Obtenha uma expressão para o campo magnético gerado pelo movimento dos elétrons no núcleo.
(d) No referencial do elétron, o núcleo executa um movimento circular com o elétron no centro da órbita. Encontre uma expressão para o campo magnético gerado pelo núcleo na posição do elétron. Calcule o valor do campo para o átomo de
no segundo orbital de Bohr
.
(e) Um elétron também possui um momento magnético de spin. Em um campo magnético
, a energia de interação do momento magnético de spin
com o campo, dada por
, pode assumir os valores
(onde
é o chamado magneton de Bohr). Use o resultado do item anterior para encontrar a energia de interação do spin do elétron com o campo magnético gerado pelo seu próprio movimento orbital na
-ésima órbita de Bohr. Calcule a diferença de energia para as duas configuraçöes possíveis do spin quando
compare com o resultado experimental
.
(b) Deduza uma expressão para a energia do elétron e calcule a diferença de energia entre os estados com
© Obtenha uma expressão para o campo magnético gerado pelo movimento dos elétrons no núcleo.
(d) No referencial do elétron, o núcleo executa um movimento circular com o elétron no centro da órbita. Encontre uma expressão para o campo magnético gerado pelo núcleo na posição do elétron. Calcule o valor do campo para o átomo de
(e) Um elétron também possui um momento magnético de spin. Em um campo magnético
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo! Temos cinco partes (a a e) relacionadas ao modelo de Bohr do átomo, que envolve conceitos como órbita do elétron, energia, campo magnético, e interação de spin. Para resolver isso, vamos precisar usar constantes fundamentais da física, como a constante de Planck, massa do elétron, carga do elétron, e outras que aparecem nas fórmulas de Bohr. Vamos passo a passo para facilitar a compreensão!
Passo 2
Parte (a): Encontrar expressão para o raio da órbita e para a velocidade do elétron em termos de constantes fundamentais, $ Z $ e do número quântico $ n $.
No modelo de Bohr, o raio da órbita ($ r_n
v_n $) são dados por fórmulas específicas. Vamos derivar essas expressões.
Primeiro, o raio da órbita no nível quântico $ n $ é dado por:
Onde:
- $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida ($ \hbar = \frac{h}{2\pi} $),
- $ k $ é a constante eletrostática ($ k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} $),
- $ e $ é a carga do elétron,
- $ m_e $ é a massa do elétron,
- $ Z $ é o número atômico,
- $ n $ é o número quântico principal.
Simplificando a expressão, usando as constantes de Bohr:
Onde $ a_0 $ é o raio de Bohr ($ a_0 \approx 5,29 \times 10^{-11} $ m).
Para a velocidade do elétron:
Ou, usando a fórmula simplificada:
Onde $ \alpha $ é a constante de estrutura fina ($ \alpha \approx 1/137 $) e $ c $ é a velocidade da luz.
Passo 3
Parte (b): Deduzir uma expressão para a energia do elétron e calcular a diferença de energia entre os estados com $ n=1 $ e $ n=2 $.
A energia total do elétron no modelo de Bohr é dada por:
Ou de forma mais conhecida:
Para calcular a diferença de energia entre $ n=1 $ e $ n=2 $:
Passo 4
Parte ©: Obter uma expressão para o campo magnético gerado pelo movimento dos elétrons no núcleo.
Quando um elétron se move em uma órbita, ele cria um campo magnético. A intensidade desse campo no centro da órbita (onde está o núcleo) pode ser calculada usando a fórmula do campo magnético de um anel de corrente:
Onde:
- $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo,
- $ I $ é a corrente equivalente,
- $ r $ é o raio da órbita.
A corrente $ I $ pode ser relacionada à velocidade do elétron:
Substituindo $ I $ na expressão de $ B $:
Passo 5
Parte (d): No referencial do elétron, o núcleo executa um movimento circular com o elétron no centro da órbita. Encontrar uma expressão para o campo magnético gerado pelo núcleo na posição do elétron. Calcular o valor do campo para o átomo de $ H $ no segundo orbital de Bohr ($ n=2 $).
Usando a mesma lógica da parte ©, mas agora o núcleo está se movendo. A expressão para o campo magnético será semelhante:
Onde $ I’ $ é a corrente equivalente do movimento do núcleo:
Então:
Para calcular o valor no segundo orbital de Bohr ($ n=2
Z=1 $):
Usamos as expressões de $ r_n $ e $ v_n $ da parte (a):
Substituindo em $ B’ $:
Calculando numericamente com $ a_0 \approx 5,29 \times 10^{-11} $ m, $ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} $ T·m/A, $ e = 1,6 \times 10^{-19} $ C, $ \alpha \approx 1/137 $, e $ c \approx 3 \times 10^8 $ m/s:
Simplificando:
Passo 6
Parte (e): Encontrar a energia de interação do spin do elétron com o campo magnético gerado pelo seu próprio movimento orbital na $ n $-ésima órbita de Bohr. Calcular a diferença de energia para as duas configurações possíveis do spin quando $ n=2 $ e comparar com o resultado experimental $ 7,27 \times 10^{-24} , J $.
A energia de interação do spin com o campo magnético é dada por:
Onde $ \mu_B $ é o magneton de Bohr ($ \mu_B = \frac{e \hbar}{2 m_e} $).
Usando o campo magnético $ B’ $ da parte (d):
A diferença de energia entre as duas configurações do spin (
e
) é:
Calculando com $ \mu_B \approx 9,27 \times 10^{-24} , J/T $ e $ B’ \approx 53,6 , T $:
Comparando com o resultado experimental $ 7,27 \times 10^{-24} , J $, vemos que há uma diferença significativa, o que indica que outros fatores, como o acoplamento spin-órbita e correções relativísticas, devem ser considerados para um acordo mais preciso com os experimentos.
Resposta
Resumindo, derivamos as expressões para o raio e velocidade dos elétrons no modelo de Bohr, calculamos as diferenças de energia entre níveis quânticos, determinamos o campo magnético gerado pelo movimento dos elétrons e a interação do spin com esse campo. Embora as aproximações do modelo de Bohr forneçam resultados qualitativos, ajustes mais sofisticados são necessários para alinhar completamente com os valores experimentais observados.