Encontre os extremantes da função objetivo
no conjunto admissível (conjunto que satisfaz a restrição). Encontre também, se houver, os extremantes de
em
.
, sujeita à
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos que extremizam a função objetivo
sob a restrição
, usando o método dos multiplicadores de Lagrange, e depois verificar se existem extremos globais de
em
. Vamos precisar do conceito de gradiente e da condição
.
Passo 2
Definimos a restrição como
. Calculamos os gradientes:
A condição de Lagrange diz que
Passo 3
Para resolver esse sistema, assumimos
e definimos
. Dividindo a primeira equação por
e a segunda por
, obtemos:
$$2=\lambda(10+6t),\quad 2t=\lambda(6+10t).
que leva a
$$t(10+6t)=6+10t\implies6t^2=6\implies t^2=1\implies t=\pm1.
$$
Passo 4
Cada valor de
dá uma direção de solução:
Para (logo
), usamos a restrição
Para
Para
Passo 5
Calculamos
nesses pontos:
Para com mesmo sinal,
Para
Para
Passo 6
Por fim, em
sem restrição,
tem único mínimo global em
com
e não possui máximo global.
Passo 7
Resumo dos resultados e classificação: pontos com
são mínimos na curva; pontos com
são máximos na curva; em
, mínimo global em
e sem máximo.
Resposta
No conjunto definido por
: mínimo de
em
e
; máximo de
em
e
. Em
,
tem mínimo global
em
e não tem máximo global.