Encontre os extremantes da função objetivo f no conjunto admissível (conjunto que satisfaz a restrição). Encontre também, se houver, os extremantes de f em R^2.
f(x, y)=x^2+y^2, sujeita à 5 x^2+6 x y+5 y^2=8

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos que extremizam a função objetivo f(x,y)=x^2+y^2 sob a restrição 5x^2+6xy+5y^2=8, usando o método dos multiplicadores de Lagrange, e depois verificar se existem extremos globais de f em R^2. Vamos precisar do conceito de gradiente e da condição nabla f=lambdanabla g.

Passo 2

Definimos a restrição como g(x,y)=5x^2+6xy+5y^2-8=0. Calculamos os gradientes:
nabla f=(2x,2y), nabla g=(10x+6y,;6x+10y)
A condição de Lagrange diz que
2x=lambda(10x+6y), 2y=lambda(6x+10y)

Passo 3

Para resolver esse sistema, assumimos xneq0 e definimos t= yx. Dividindo a primeira equação por x e a segunda por x, obtemos:
$$2=\lambda(10+6t),\quad 2t=\lambda(6+10t).
2=lambda(10+6t), 2t=lambda(6+10t) 2t=\lambda t(10+6t)=\lambda(6+10t)=2t,$$
que leva a
$$t(10+6t)=6+10t\implies6t^2=6\implies t^2=1\implies t=\pm1.
$$

Passo 4

Cada valor de t dá uma direção de solução:
Para t=1 (logo y=x), usamos a restrição
5x^2+6x^2+5x^2=16x^2=8implies x^2=tfrac12implies x=pmtfrac1raiz2,;y=x
Para t=-1 (logo y=-x),
5x^2-6x^2+5x^2=4x^2=8implies x^2=2implies x=pmraiz2,;y=-x

Passo 5

Calculamos f nesses pontos:
Para (pmtfrac1raiz2,pmtfrac1raiz2) com mesmo sinal,
f=tfrac12+tfrac12=1\é o valor mínimo no conjunto.
Para (pmraiz2,mpraiz2),
f=2+2=4\é o valor máximo no conjunto.

Passo 6

Por fim, em R^2 sem restrição, f(x,y)=x^2+y^2 tem único mínimo global em (0,0) com f(0,0)=0 e não possui máximo global.

Passo 7

Resumo dos resultados e classificação: pontos com f=1 são mínimos na curva; pontos com f=4 são máximos na curva; em R^2, mínimo global em (0,0) e sem máximo.

Resposta

No conjunto definido por 5x^2+6xy+5y^2=8: mínimo de f=1 em (1/raiz2,1/raiz2) e (-1/raiz2,-1/raiz2); máximo de f=4 em (raiz2,-raiz2) e (-raiz2,raiz2). Em R^2, f tem mínimo global f(0,0)=0 em (0,0) e não tem máximo global.

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