Use uma aproximação linear local (polinômio de Taylor de ordem 1) para estimar o valor da quantidade dada, e compare com o resultado “exato” dado pela calculadora.
\ln (0,9)

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: usar uma aproximação linear local (polinómio de Taylor de ordem 1) para estimar \ln(0,9) e comparar essa estimativa com o valor “exato” fornecido por uma calculadora. A única informação numérica fornecida é o ponto onde queremos avaliar a função: x=0,9.

Passo 2

Conceito: aproximação linear (Taylor de ordem 1) em torno de um ponto a.
A ideia é aproximar uma função f(x) por uma reta tangente em torno de um ponto a. A fórmula é
f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).
Aqui:
  • f(x) é a função que queremos aproximar;
  • a é o ponto em volta do qual fazemos a aproximação (escolhido para tornar os cálculos fáceis e x próximo de a);
  • f'(a) é a derivada de f avaliada em a;
  • x é o ponto onde queremos estimar f(x).
Explicando em miúdos: a reta tem ordenada em a igual a f(a) e inclinação f'(a); para x perto de a essa reta costuma estar bem próxima da curva f.

Passo 3

Escolha do ponto a. Para f(x)=\ln x a escolha natural e conveniente é a=1, porque:
  • \ln(1)=0 (fácil),
  • 1 é próximo de 0,9 (diferença pequena),
  • a derivada de \ln x é simples: f'(x)=\dfrac{1}{x}.
Então:
f(x)=\ln x,\qquad f'(x)=\dfrac{1}{x}.
Em particular,
f(1)=\ln 1=0,\qquad f'(1)=\dfrac{1}{1}=1.

Passo 4

Aplicando a fórmula da aproximação linear com a=1 e x=0,9:
\ln(0,9)\approx \ln(1)+\left.\dfrac{d}{dx}\ln x\right|_{x=1}(0,9-1).
Substituindo os valores:
\ln(0,9)\approx 0 + 1\cdot(0,9-1)=0+( -0,1)=-0,1.
Portanto a aproximação linear dá -0,1.

Passo 5

Valor “exato” (calculadora) para comparar. Usando calculadora:
\ln(0,9)\approx -0,10536051565782628.

Passo 6

Cálculo do erro da aproximação.
Erro absoluto:
\text{erro absoluto} = \big|\text{aprox} - \text{exato}\big| = \big|-0,1 - (-0,10536051565782628)\big| = 0,00536051565782628.
Erro relativo (em percentagem):
\text{erro relativo}=\frac{0,00536051565782628}{|{-0,10536051565782628}|}\approx 0,050888\ldots \approx 5,09\%.

Passo 7

Estimativa do resto (verificação teórica). A segunda derivada de \ln x é
f''(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}.
Para x entre 0,9 e 1 temos |f''(x)|\le \dfrac{1}{0,9^{2}}=\dfrac{1}{0,81}\approx 1,2345679. Pelo termo de resto da série de Taylor em ordem 1 (cota da forma |R_2|\le \tfrac12\max|f''|\,(x-a)^2), obtemos a cota
|R_2|\le \tfrac12\cdot 1,2345679\cdot(0,1)^2 \approx 0,0061728395.
Isso confirma que o erro real 0,0053605 está abaixo da cota teórica 0,00617284, ou seja, a aproximação linear foi consistente com a teoria.

Passo 8

Interpretação prática e dica para prova: escolher a onde f(a) e f'(a) são simples (aqui a=1) facilita muito. Para deslocamentos pequenos ( x-a pequeno), a aproximação linear costuma ser razoável; aqui o erro relativo é cerca de 5\%, o que em muitos contextos é aceitável. Se precisar de mais precisão, usar o polinómio de Taylor de ordem 2 (incluir a segunda derivada) melhora bastante.

Resposta

Aproximação linear: -0,1
Valor exato (calculadora): -0,10536051565782628
Erro absoluto: 0,00536051565782628 (erro relativo \approx 5,09\%)

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