Encontre os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.
(h)
(h)
Passo 1
Estamos com a função
definida em
. O objetivo é achar extremos relativos (usando teste da primeira ou segunda derivada), pontos de inflexão, intervalos de concavidade e esboçar o gráfico. Para isso, vamos precisar usar derivadas de
e
.
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada usando produto e regras básicas. Como
, temos
Passo 3
Para encontrar extremos, igualamos
. Note que em
temos
, então
e
para todo
. Logo
nunca zera, o que mostra que não há pontos críticos internos e a função é estritamente crescente (se não há mudança de sinal em
, não há extremos relativos).
Passo 4
Agora vamos à segunda derivada para concavidade e inflexão. Derivando
:
Passo 5
Em
temos
e
, então o sinal de
é o de
. Assim
- Para
, ⇒ ⇒ concavidade para baixo. - Para
, ⇒ ⇒ concavidade para cima.
Passo 6
No ponto
temos
e o sinal de
troca, identificando um ponto de inflexão em
.
Para esboçar o gráfico:
Para esboçar o gráfico:
- A função é crescente e passa por
. - Tem assíntotas verticais em
(coseno vai a zero). - É côncava para baixo em
, depois inflexão em e côncava para cima em .
Resposta
Não há extremos relativos. O ponto de inflexão ocorre em
. A função é côncava para baixo em
e côncava para cima em
. O gráfico é estritamente crescente, passa pela origem e tem assíntotas verticais em
.