Encontre os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.
(h) g(x)=sec x tg x, x in(-pi2, pi2)

Passo 1

Estamos com a função g(x)=sec x,tan x definida em l(-tfracpi2,tfracpi2r). O objetivo é achar extremos relativos (usando teste da primeira ou segunda derivada), pontos de inflexão, intervalos de concavidade e esboçar o gráfico. Para isso, vamos precisar usar derivadas de sec x e tan x.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada usando produto e regras básicas. Como g(x)=sec xcdottan x, temos
g'(x)=ddx[sec x]cdottan x + sec xcdotddx[tan x] Sabendo que ddx[sec x]=sec xtan x e ddx[tan x]=sec^2 x,
g'(x)=sec xtan xcdottan x + sec xcdotsec^2 x =sec xl(tan^2 x + 1r) + sec xtan^2 x =sec xl(2tan^2 x+1r)

Passo 3

Para encontrar extremos, igualamos g'(x)=0. Note que em l(-tfracpi2,tfracpi2r) temos cos x>0, então sec x>0 e 2tan^2 x+1>0 para todo x. Logo g'(x) nunca zera, o que mostra que não há pontos críticos internos e a função é estritamente crescente (se não há mudança de sinal em g', não há extremos relativos).

Passo 4

Agora vamos à segunda derivada para concavidade e inflexão. Derivando g'(x)=sec xl(2tan^2 x+1r):
g''(x)=ddx[sec x],(2tan^2 x+1)+sec x,ddx[2tan^2 x+1] O primeiro termo é sec xtan x,(2tan^2 x+1) e o segundo é sec xcdot4tan xsec^2 x=4sec^3 xtan x. Fatorando,
g''(x)=sec xtan xl(2tan^2 x+1+4sec^2 xr)=sec xtan xl(6tan^2 x+5r)

Passo 5

Em l(-tfracpi2,tfracpi2r) temos sec x>0 e 6tan^2 x+5>0, então o sinal de g''(x) é o de tan x. Assim
  • Para x<0, tan x<0 g''(x)<0 ⇒ concavidade para baixo.
  • Para x>0, tan x>0 g''(x)>0 ⇒ concavidade para cima.

Passo 6

No ponto x=0 temos g''(0)=0 e o sinal de g'' troca, identificando um ponto de inflexão em x=0.
Para esboçar o gráfico:
  • A função é crescente e passa por g(0)=sec0,tan0=0.
  • Tem assíntotas verticais em x=pmtfracpi2 (coseno vai a zero).
  • É côncava para baixo em l(-tfracpi2,0r), depois inflexão em 0 e côncava para cima em l(0,tfracpi2r).

Resposta

Não há extremos relativos. O ponto de inflexão ocorre em x=0. A função é côncava para baixo em l(-tfracpi2,0r) e côncava para cima em l(0,tfracpi2r). O gráfico é estritamente crescente, passa pela origem e tem assíntotas verticais em x=pmtfracpi2.

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