Encontre os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.
(e) g(x)=x raiz8-x^2

Passo 1

O enunciado pede os extremos relativos de g(x)=x√(8−x²) usando teste da derivada segunda (quando possível) ou primeira, além dos pontos de inflexão e dos intervalos de concavidade, e por fim um esboço do gráfico.

Passo 2

O domínio de g é dado por 8−x²≥0, ou seja x∈[−2√2,2√2]. Para achar g′ usamos regra do produto e cadeia:
$$g(x)=x(8−x2){1/2},\
g’(x)=1·(8−x2){1/2}+x·\frac12(8−x2){−1/2}(−2x)=(8−2x2)(8−x2)^{−1/2}.$$

Passo 3

Os pontos críticos vêm de g′(x)=0 ou indefinição interna. Como o denominador só zera nos extremos do domínio, resolvemos 8−2x²=0 ⇒ x²=4 ⇒ x=±2, que estão no domínio.

Passo 4

Para o teste da segunda derivada calculamos g’’(x) derivando g’:
g''(x)=2x(x^2−12)(8−x^2)^3/2

Passo 5

Avaliação de g’’ nos críticos: em x=2 temos g’’(2)=2⋅2(4−12)/(4)^{3/2}=−4<0 ⇒ máximo relativo em x=2. Em x=−2 temos g’’(−2)=+4>0 ⇒ mínimo relativo em x=−2.

Passo 6

Para pontos de inflexão buscamos g’’(x)=0 ⇒ 2x(x²−12)=0 ⇒ x=0 (as outras raízes não estão no domínio). Há troca de concavidade em x=0.

Passo 7

O sinal de g’’ no domínio: como x²−12<0 sempre, o sinal de g’’ é oposto ao de x. Logo g é côncavo para cima em (−2√2,0) e côncavo para baixo em (0,2√2).

Passo 8

Para o esboço, avaliamos os pontos principais:
g(−2√2)=0, g(−2)=−4, g(0)=0, g(2)=4, g(2√2)=0

Passo 9

Com esses valores, máximos e mínimos relativos, ponto de inflexão em (0,0) e concavidades, traça-se o gráfico típico em forma de “h” invertido e simétrico.

Resposta

Extremo relativo de máximo em x=2 com g(2)=4 e extremo relativo de mínimo em x=−2 com g(−2)=−4;
Ponto de inflexão em x=0;
Côncavo para cima em (−2√2,0) e côncavo para baixo em (0,2√2).
Esboço conforme descrito.

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