Encontre os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede os extremos relativos de g(x)=x√(8−x²) usando teste da derivada segunda (quando possível) ou primeira, além dos pontos de inflexão e dos intervalos de concavidade, e por fim um esboço do gráfico.
Passo 2
O domínio de g é dado por 8−x²≥0, ou seja x∈[−2√2,2√2]. Para achar g′ usamos regra do produto e cadeia:
$$g(x)=x(8−x2){1/2},\
g’(x)=1·(8−x2){1/2}+x·\frac12(8−x2){−1/2}(−2x)=(8−2x2)(8−x2)^{−1/2}.$$
Passo 3
Os pontos críticos vêm de g′(x)=0 ou indefinição interna. Como o denominador só zera nos extremos do domínio, resolvemos 8−2x²=0 ⇒ x²=4 ⇒ x=±2, que estão no domínio.
Passo 4
Para o teste da segunda derivada calculamos g’’(x) derivando g’:
Passo 5
Avaliação de g’’ nos críticos: em x=2 temos g’’(2)=2⋅2(4−12)/(4)^{3/2}=−4<0 ⇒ máximo relativo em x=2. Em x=−2 temos g’’(−2)=+4>0 ⇒ mínimo relativo em x=−2.
Passo 6
Para pontos de inflexão buscamos g’’(x)=0 ⇒ 2x(x²−12)=0 ⇒ x=0 (as outras raízes não estão no domínio). Há troca de concavidade em x=0.
Passo 7
O sinal de g’’ no domínio: como x²−12<0 sempre, o sinal de g’’ é oposto ao de x. Logo g é côncavo para cima em (−2√2,0) e côncavo para baixo em (0,2√2).
Passo 8
Para o esboço, avaliamos os pontos principais:
Passo 9
Com esses valores, máximos e mínimos relativos, ponto de inflexão em (0,0) e concavidades, traça-se o gráfico típico em forma de “h” invertido e simétrico.
Resposta
Extremo relativo de máximo em x=2 com g(2)=4 e extremo relativo de mínimo em x=−2 com g(−2)=−4;
Ponto de inflexão em x=0;
Côncavo para cima em (−2√2,0) e côncavo para baixo em (0,2√2).
Esboço conforme descrito.
Ponto de inflexão em x=0;
Côncavo para cima em (−2√2,0) e côncavo para baixo em (0,2√2).
Esboço conforme descrito.