Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a. integral0^pi / 2 integral0^pi / 2 integral0^1 rho^2 sen phi d rho d theta d phi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o sólido cujo volume é dado por essa integral tripla em coordenadas esféricas e depois calcular o volume. Isso envolve entender como usar integrais múltiplas e coordenadas esféricas na matemática. Vamos precisar integrar em três dimensões usando as variáveis rho, theta e phi.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, o volume é dado por rho^2 sin phi , drho , dtheta , dphi. A integração vai de rho = 0 até 1, theta = 0 até pi2 e phi = 0 até pi2. Vamos começar integrando em relação a rho.

Passo 3

A integral com respeito a rho fica assim:
integral0^1 rho^2 , drho
Integrando rho^2 em relação a rho, a antiderivada é rho^33. Avaliando de 0 a 1:
rho^33 |0^1 = 1^33 - 0^33 = 13

Passo 4

Agora, substituímos esse resultado na integral e seguimos com a variável theta:
13 integral0^pi2 dtheta
Integrando 1 em relação a theta, a antiderivada é theta. Avaliando de 0 a pi2:
theta |0^pi2 = pi2 - 0 = pi2
Multiplicando pelo 13:
13 times pi2 = pi6

Passo 5

Por último, vamos integrar em relação a phi:
pi6 integral0^pi2 sin phi , dphi
A integral de sin phi em relação a phi é -cos phi. Avaliando de 0 a pi2:
-cos phi |0^pi2 = -cos(pi2) + cos(0) = -0 + 1 = 1
Multiplicando pelo pi6:
pi6 times 1 = pi6

Resposta

O volume do sólido é pi6 unidades cúbicas.

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