Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o sólido cujo volume é dado por essa integral tripla em coordenadas esféricas e depois calcular o volume. Isso envolve entender como usar integrais múltiplas e coordenadas esféricas na matemática. Vamos precisar integrar em três dimensões usando as variáveis , e .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, o volume é dado por . A integração vai de até , até e até . Vamos começar integrando em relação a .
Passo 3
A integral com respeito a fica assim:
Integrando em relação a , a antiderivada é . Avaliando de a :
Passo 4
Agora, substituímos esse resultado na integral e seguimos com a variável theta:
13 integral0^pi2 dtheta
Integrando 1 em relação a theta, a antiderivada é theta. Avaliando de 0 a pi2:
theta |0^pi2 = pi2 - 0 = pi2
Multiplicando pelo 13:
13 times pi2 = pi6
Passo 5
Por último, vamos integrar em relação a phi:
pi6 integral0^pi2 sin phi , dphi
A integral de sin phi em relação a phi é -cos phi. Avaliando de 0 a pi2: