Mude de coordenadas cilíndricas para esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mudar as coordenadas de cilíndricas para esféricas. O ponto dado em coordenadas cilíndricas é
. Para isso, vamos precisar entender as fórmulas que fazem essa conversão. Basicamente, vamos transformar os valores de raio, ângulo e altura das coordenadas cilíndricas para o formato das coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas cilíndricas e esféricas:
-
Cilíndricas:
-
: distância do ponto ao eixo z (raio) -
: ângulo em relação ao eixo x -
: altura do ponto acima do plano xy
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Esféricas:
-
: distância do ponto à origem -
: ângulo entre o raio e o eixo z (ângulo polar) -
: mesmo ângulo das coordenadas cilíndricas
-
Passo 3
Vamos começar calculando
, que é a distância do ponto à origem. A fórmula para isso é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o ângulo
. Ele é o ângulo entre o raio
e o eixo z, e podemos calcular usando a função cosseno:
Substituindo os valores:
Passo 5
O último elemento que precisamos é o ângulo
, que já está igual nas duas coordenadas. No caso,
.
Resposta
Portanto, as coordenadas esféricas são: