Mude de coordenadas cilíndricas para esféricas. (12, pi, 5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mudar as coordenadas de cilíndricas para esféricas. O ponto dado em coordenadas cilíndricas é (12, pi, 5). Para isso, vamos precisar entender as fórmulas que fazem essa conversão. Basicamente, vamos transformar os valores de raio, ângulo e altura das coordenadas cilíndricas para o formato das coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas cilíndricas e esféricas:
  • Cilíndricas: (r, theta, z)
    • r: distância do ponto ao eixo z (raio)
    • theta: ângulo em relação ao eixo x
    • z: altura do ponto acima do plano xy
  • Esféricas:
    • rho: distância do ponto à origem
    • phi: ângulo entre o raio rho e o eixo z (ângulo polar)
    • theta: mesmo ângulo das coordenadas cilíndricas

Passo 3

Vamos começar calculando rho, que é a distância do ponto à origem. A fórmula para isso é:
Substituindo os valores que temos:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o ângulo phi. Ele é o ângulo entre o raio rho e o eixo z, e podemos calcular usando a função cosseno:
Substituindo os valores:

Passo 5

O último elemento que precisamos é o ângulo theta, que já está igual nas duas coordenadas. No caso, .

Resposta

Portanto, as coordenadas esféricas são:

Exercícios relacionados