Encontre os extremos relativos das seguintes funções avaliando se se trata de ponto de máximo, mínimo ou inflexão. Informe o valor da função no extremo. Caso não exista ponto crítico, justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos relativos da função
. Isso significa descobrir onde a função tem pontos de máximo ou mínimo. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar pontos críticos e determinar a natureza desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto.
A função é
.
A derivada de
é
e a derivada de
é
. A derivada de uma constante, como
, é zero.
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada iguala a zero ou não existe. Aqui, a derivada
sempre existe, então vamos igualar a zero:
Resolvendo para
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Para saber se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão, vamos usar a segunda derivada, que nos ajuda a determinar a concavidade da função.
Vamos encontrar a segunda derivada
:
A derivada de
é
.
Como
é positivo, isso significa que a função é côncava para cima nesse ponto, indicando que temos um mínimo relativo.
Passo 5
Vamos calcular o valor da função no ponto
:
Substituindo na função original:
Resposta
A função
tem um mínimo relativo em
com valor da função igual a
.