Encontre os extremos relativos das seguintes funções avaliando se se trata de ponto de máximo, mínimo ou inflexão. Informe o valor da função no extremo. Caso não exista ponto crítico, justifique sua resposta.
y(x)=x^2+4 x-8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos relativos da função y(x) = x^2 + 4x - 8 . Isso significa descobrir onde a função tem pontos de máximo ou mínimo. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar pontos críticos e determinar a natureza desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função y(x) . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto.
A função é y(x) = x^2 + 4x - 8 .
A derivada de x^2 é 2x e a derivada de 4x é 4 . A derivada de uma constante, como -8 , é zero.
Então, y'(x) = 2x + 4 .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada iguala a zero ou não existe. Aqui, a derivada y'(x) = 2x + 4 sempre existe, então vamos igualar a zero:
2x + 4 = 0
Resolvendo para x :
2x = -4
x = -2
Então, temos um ponto crítico em x = -2 .

Passo 4

Para saber se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão, vamos usar a segunda derivada, que nos ajuda a determinar a concavidade da função.
Vamos encontrar a segunda derivada y''(x) :
A derivada de y'(x) = 2x + 4 é y''(x) = 2 .
Como y''(x) = 2 é positivo, isso significa que a função é côncava para cima nesse ponto, indicando que temos um mínimo relativo.

Passo 5

Vamos calcular o valor da função no ponto x = -2 :
Substituindo na função original:
y(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 8
y(-2) = 4 - 8 - 8
y(-2) = -12

Resposta

A função y(x) = x^2 + 4x - 8 tem um mínimo relativo em x = -2 com valor da função igual a y(-2) = -12 .

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