Estude a convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
(0.5) sumn=2^infty(1ln n-1ln (n+1))

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
12sumn=2^inftyl(1ln n-1ln(n+1)r)
O conteúdo envolve séries telescópicas e análise de convergência absoluta.

Passo 2

Definimos
an = 12l(1ln n-1ln(n+1)r)
e o N-ésimo somatório parcial
SN = sumn=2^Nan
Como há cancelamento telescópico, temos
sumn=2^Nl(1ln n-1ln(n+1)r) = 1ln2-1ln(N+1)
Multiplicando por tfrac12,
SN = 12l(1ln2-1ln(N+1)r)

Passo 3

Fazendo Ntoinfty, nota-se que 1ln(N+1)to0. Logo
limNtoinftySN = 12cdot1ln2 = 12ln2,
o que mostra que a série converge.

Passo 4

Como para todo n>=2 temos 1ln n>1ln(n+1), cada an é positivo. Assim
sumn=2^infty|an| = sumn=2^inftyan
é finito pelo telescopamento, o que implica convergência absoluta.

Resposta

A série converge absolutamente e
sumn=2^infty12l(1ln n-1ln(n+1)r) = 12ln2

Exercícios relacionados