Encontre os extremos relativos das seguintes funções avaliando se se trata de ponto de máximo, mínimo ou inflexão. Informe o valor da função no extremo. Caso não exista ponto crítico, justifique sua resposta.
y(x)=(x-2)(3 x+1)

Passo 1

Estamos com o desafio de encontrar os extremos relativos da função $ y(x) = (x-2)(3x+1) $. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especialmente derivadas, para identificar onde a função alcança seus pontos de máximo ou mínimo. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela se iguala a zero ou não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função multiplicando os termos:
y(x) = (x - 2)(3x + 1) = 3x^2 + x - 6x - 2 = 3x^2 - 5x - 2

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função $ y(x) $ em relação a $ x $. A derivada nos mostra a taxa de variação da função e é essencial para encontrar os pontos críticos.
y(x)

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero e resolvemos para $ x $:
x

Passo 5

Agora, precisamos determinar se esse ponto crítico $ x = \frac{5}{6} $ é um ponto de máximo, mínimo ou ponto de inflexão. Vamos analisar o comportamento da derivada antes e depois desse ponto.
  • Para $ x < \frac{5}{6} $:
    • Por exemplo, $ x = 0 $
    • $ y’(0) = 6(0) - 5 = -5 $ (negativa)
    • Isso indica que a função está decrescendo nesse intervalo.
  • Para $ x > \frac{5}{6} $:
    • Por exemplo, $ x = 1 $
    • $ y’(1) = 6(1) - 5 = 1 $ (positiva)
    • Isso indica que a função está crescendo nesse intervalo.
Como a derivada muda de negativa para positiva ao passar por $ x = \frac{5}{6} $, isso significa que a função atinge um mínimo relativo nesse ponto.

Passo 6

Finalmente, vamos calcular o valor da função no ponto de mínimo encontrado:
y(56) = (56 - 2)(3 cdot 56 + 1) = (-76)(156 + 1) = (-76)(216) = -14736 = -4912

Resposta

A função $ y(x) = (x-2)(3x+1) $ possui um mínimo relativo em $ x = \frac{5}{6} $, onde o valor da função é $ y\left(\frac{5}{6}\right) = -\frac{49}{12} $.

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