Encontre os extremos relativos das seguintes funções avaliando se se trata de ponto de máximo, mínimo ou inflexão. Informe o valor da função no extremo. Caso não exista ponto crítico, justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Precisamos encontrar os extremos relativos da função
. Isso significa descobrir onde a função atinge valores máximos ou mínimos. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, mais especificamente as derivadas, para identificar os pontos críticos e determinar se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada da função
, que nos ajudará a encontrar os pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe). A derivada de
em relação a
é:
Aplicando a regra da cadeia para o primeiro termo:
E para o segundo termo:
Então, a primeira derivada completa é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos igualando a primeira derivada a zero:
Resolvendo para
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão, precisamos analisar a segunda derivada da função
. A segunda derivada nos indica a concavidade da função nesse ponto.
Calculando a segunda derivada:
Passo 5
A segunda derivada
é positiva, o que significa que a função é côncava para cima nesse ponto. Quando a segunda derivada é positiva, o ponto crítico correspondente é um ponto de mínimo.
Resposta
A função
possui um ponto de mínimo relativo em
. Calculando o valor da função nesse ponto:
Simplificando:
Portanto, o valor mínimo da função é
.