Encontre os extremos relativos das seguintes funções avaliando se se trata de ponto de máximo, mínimo ou inflexão. Informe o valor da função no extremo. Caso não exista ponto crítico, justifique sua resposta.
y(x)=(3 x+0,5)^2+x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Precisamos encontrar os extremos relativos da função y(x) = (3x + 0,5)^2 + x^2 . Isso significa descobrir onde a função atinge valores máximos ou mínimos. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, mais especificamente as derivadas, para identificar os pontos críticos e determinar se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada da função y(x) , que nos ajudará a encontrar os pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe). A derivada de y(x) em relação a x é:
y'(x) = ddx[(3x + 0,5)^2] + ddx[x^2]
Aplicando a regra da cadeia para o primeiro termo:
ddx[(3x + 0,5)^2] = 2(3x + 0,5) cdot 3 = 6(3x + 0,5)
E para o segundo termo:
ddx[x^2] = 2x
Então, a primeira derivada completa é:
y'(x) = 6(3x + 0,5) + 2x = 18x + 3 + 2x = 20x + 3

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos igualando a primeira derivada a zero:
20x + 3 = 0
Resolvendo para x :
20x = -3 implies x = -320
Então, temos um ponto crítico em x = -320 .

Passo 4

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão, precisamos analisar a segunda derivada da função y(x) . A segunda derivada nos indica a concavidade da função nesse ponto.
Calculando a segunda derivada:
y''(x) = ddx[20x + 3] = 20

Passo 5

A segunda derivada y''(x) = 20 é positiva, o que significa que a função é côncava para cima nesse ponto. Quando a segunda derivada é positiva, o ponto crítico correspondente é um ponto de mínimo.

Resposta

A função y(x) = (3x + 0,5)^2 + x^2 possui um ponto de mínimo relativo em x = -320 . Calculando o valor da função nesse ponto:
y(-320) = (3(-320) + 0,5)^2 + (-320)^2
Simplificando:
3(-320) = -920
-920 + 0,5 = -920 + 1020 = 120
(120)^2 = 1400
(-320)^2 = 9400
y(-320) = 1400 + 9400 = 10400 = 140
Portanto, o valor mínimo da função é 140 .

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