Encontre os extremos relativos das seguintes funções avaliando se se trata de ponto de máximo, mínimo ou inflexão. Informe o valor da função no extremo. Caso não exista ponto crítico, justifique sua resposta.
y(x)=2 x^2-ln x

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar os extremos relativos da função y(x) = 2x^2 - ln x . Isso significa que vamos descobrir onde a função atinge máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos usar derivadas, que nos ajudam a entender como a função se comporta em diferentes pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função y(x) . A derivada nos indica a inclinação da função em qualquer ponto x . Vamos derivar cada termo separadamente:
  • A derivada de 2x^2 é 4x .
  • A derivada de -ln x é -1x .
Então, a derivada da função é:
y'(x) = 4x - 1x

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos são onde a derivada é igual a zero ou não existe. Vamos resolver a equação y'(x) = 0 :
4x - 1x = 0
Vamos multiplicar ambos os lados por x para eliminar a fração:
4x^2 - 1 = 0
Resolvendo para x :
4x^2 = 1
x^2 = 14
x = pm 12
Mas, como o domínio da função y(x) = 2x^2 - ln x é x > 0 (porque o logaritmo natural só aceita números positivos), descartamos x = -12 .
Então, temos um ponto crítico em:
x = 12

Passo 4

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão, vamos usar a segunda derivada da função. A segunda derivada nos diz se a função está “curvada para cima” ou “para baixo” nesse ponto.
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada:
y'(x) = 4x - 1x
Derivando novamente:
y''(x) = 4 + 1x^2
Agora, vamos avaliar y''(x) em x = 12 :
y''(12) = 4 + 1(12)^2 = 4 + 114 = 4 + 4 = 8
Como y''(12) > 0 , a função está “curvada para cima”, o que significa que temos um ponto de mínimo local.

Passo 5

Finalmente, vamos encontrar o valor da função no ponto mínimo x = 12 :
y(12) = 2(12)^2 - ln(12)
Calculando:
y(12) = 2(14) - ln(12) = 12 - (-ln 2) = 12 + ln 2

Resposta

A função y(x) = 2x^2 - ln x possui um ponto de mínimo relativo em x = 12 e o valor da função nesse ponto é y(12) = 12 + ln 2 , aproximadamente igual a 1.193 .

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