Encontre os extremos relativos das seguintes funções avaliando se se trata de ponto de máximo, mínimo ou inflexão. Informe o valor da função no extremo. Caso não exista ponto crítico, justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar os extremos relativos da função
. Isso significa que vamos descobrir onde a função atinge máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos usar derivadas, que nos ajudam a entender como a função se comporta em diferentes pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos indica a inclinação da função em qualquer ponto
. Vamos derivar cada termo separadamente:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, a derivada da função é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos são onde a derivada é igual a zero ou não existe. Vamos resolver a equação
:
Vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar a fração:
Resolvendo para
:
Mas, como o domínio da função
é
(porque o logaritmo natural só aceita números positivos), descartamos
.
Então, temos um ponto crítico em:
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão, vamos usar a segunda derivada da função. A segunda derivada nos diz se a função está “curvada para cima” ou “para baixo” nesse ponto.
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada:
Derivando novamente:
Agora, vamos avaliar
em
:
Como
, a função está “curvada para cima”, o que significa que temos um ponto de mínimo local.
Passo 5
Finalmente, vamos encontrar o valor da função no ponto mínimo
:
Calculando:
Resposta
A função
possui um ponto de mínimo relativo em
e o valor da função nesse ponto é
, aproximadamente igual a
.