Encontre os extremos relativos usando os testes da derivada primeira e segunda.
f(x)=\operatorname{sen}(2 x), 0<x<\pi

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos relativos de
f(x)=\sin(2x),\quad 0<x<\pi
usando os testes da derivada primeira e da derivada segunda. Para isso vamos precisar de f'(x) para achar os pontos críticos e estudar o sinal de f'(x) (teste da primeira derivada), e de f''(x) para classificar esses pontos (teste da segunda derivada).

Passo 2

Calcular as derivadas de f. Como f(x)=\sin(2x), pela regra da cadeia:
f'(x)=2\cos(2x),
e derivando de novo:
f''(x)=-4\sin(2x).

Passo 3

Determinar os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
2\cos(2x)=0 \;\Longrightarrow\; \cos(2x)=0 \;\Longrightarrow\; 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi \;\Longrightarrow\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}.
No intervalo 0<x<\pi só cabem k=0 e k=1, dando
x_1=\frac{\pi}{4}, \quad x_2=\frac{3\pi}{4}.

Passo 4

Aplicar o teste da derivada primeira, examinando o sinal de f'(x)=2\cos(2x) em intervalos:
  • Para 0<x<\tfrac{\pi}{4}, temos 2x<\tfrac{\pi}{2} e \cos(2x)>0, logo f'(x)>0.
  • Para \tfrac{\pi}{4}<x<\tfrac{3\pi}{4}, temos \tfrac{\pi}{2}<2x<\tfrac{3\pi}{2} e \cos(2x)<0, logo f'(x)<0.
  • Para \tfrac{3\pi}{4}<x<\pi, temos \tfrac{3\pi}{2}<2x<2\pi e \cos(2x)>0, logo f'(x)>0.
    Assim em x_1=\tfrac{\pi}{4} a derivada troca de positiva para negativa (máximo local) e em x_2=\tfrac{3\pi}{4} troca de negativa para positiva (mínimo local).

Passo 5

Confirmar com o teste da derivada segunda:
  • Em x_1=\tfrac{\pi}{4}:
f''\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =-4\sin\bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{4}\bigr) =-4\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) =-4<0
logo máximo local.
  • Em x_2=\tfrac{3\pi}{4}:
f''\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr) =-4\sin\bigl(2\cdot\tfrac{3\pi}{4}\bigr) =-4\sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) =-4\cdot(-1)=4>0
logo mínimo local.

Resposta

Ocorre máximo relativo em
\bigl(x,f(x)\bigr)=\Bigl(\tfrac{\pi}{4},\,1\Bigr)
e mínimo relativo em
\bigl(x,f(x)\bigr)=\Bigl(\tfrac{3\pi}{4},\,-1\Bigr).

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