Encontre os extremos relativos usando os testes da derivada primeira e segunda.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos relativos de
usando os testes da derivada primeira e da derivada segunda. Para isso vamos precisar de
para achar os pontos críticos e estudar o sinal de
(teste da primeira derivada), e de
para classificar esses pontos (teste da segunda derivada).
Passo 2
Calcular as derivadas de
. Como
, pela regra da cadeia:
e derivando de novo:
Passo 3
Determinar os pontos críticos resolvendo
:
No intervalo
só cabem
e
, dando
Passo 4
Aplicar o teste da derivada primeira, examinando o sinal de
em intervalos:
- Para
, temos e , logo . - Para
, temos e , logo . - Para
, temos e , logo .
Assim ema derivada troca de positiva para negativa (máximo local) e em troca de negativa para positiva (mínimo local).
Passo 5
Confirmar com o teste da derivada segunda:
- Em
:
logo máximo local.
- Em
:
logo mínimo local.
Resposta
Ocorre máximo relativo em
e mínimo relativo em