Questão 1: (
pontos) Considere a equação
a) Mostre que a equação tem ponto ordinário em
.
b) Encontre duas soluções linearmente independentes por séries de potências em torno de
. Expresse explicitamente os 5 primeiros termos de cada uma das soluções.
b) Encontre duas soluções linearmente independentes por séries de potências em torno de
Passo 1
O enunciado trata da EDO
e pede (a) mostrar que
é ponto ordinário e (b) obter duas soluções linearmente independentes em série de potências centradas em
, com os cinco primeiros termos de cada uma. Para isso vamos usar o método de série de potências, que consiste em supor
e determinar a recorrência dos coeficientes
.
Passo 2
Para mostrar que
é ponto ordinário, escrevemos a EDO na forma normal
Aqui
e
Como
é analítica em torno de
(o denominador
não se anula em
), concluímos que
é ponto ordinário.
Passo 3
Supomos
Então
Fazendo a troca de índice
no primeiro somatório e
no segundo, obtemos, somando ainda
de
, a série
Logo a relação de recorrência é
e
,
são livres.
Passo 4
Para a primeira solução escolhemos
,
. Calculamos:
Portanto a primeira série até
é
Passo 5
Para a segunda solução escolhemos
,
. Calculamos:
Então a segunda série até
é
Resposta
A)
é ponto ordinário, pois
é analítica em
.
B) Duas soluções independentes são
B) Duas soluções independentes são