Questão 1: ( \mathbf{2 , 5} pontos) Considere a equação
(x+1) y^{\prime \prime}+y=0 .
a) Mostre que a equação tem ponto ordinário em x=0.
b) Encontre duas soluções linearmente independentes por séries de potências em torno de x=0. Expresse explicitamente os 5 primeiros termos de cada uma das soluções.

Passo 1

O enunciado trata da EDO
(x+1)\,y''+y=0
e pede (a) mostrar que x=0 é ponto ordinário e (b) obter duas soluções linearmente independentes em série de potências centradas em x=0, com os cinco primeiros termos de cada uma. Para isso vamos usar o método de série de potências, que consiste em supor
y=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n
e determinar a recorrência dos coeficientes a_n.

Passo 2

Para mostrar que x=0 é ponto ordinário, escrevemos a EDO na forma normal
y''+P(x)\,y'+Q(x)\,y=0.
Aqui P(x)=0 e
Q(x)=\frac{1}{x+1}.
Como Q(x) é analítica em torno de x=0 (o denominador x+1 não se anula em x=0), concluímos que x=0 é ponto ordinário.

Passo 3

Supomos
y=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n \quad\Longrightarrow\quad y''=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_n x^{n-2}.
Então
(x+1)y''=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_n x^{n-2} +\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_n x^{n-1}.
Fazendo a troca de índice k=n-2 no primeiro somatório e k=n-1 no segundo, obtemos, somando ainda \sum a_k x^k de y, a série
\sum_{k=0}^{\infty}\Bigl[(k+2)(k+1)a_{k+2}+k(k+1)a_{k+1}+a_k\Bigr]x^k=0.
Logo a relação de recorrência é
a_{k+2}=-\frac{k(k+1)a_{k+1}+a_k}{(k+2)(k+1)}, \qquad k\ge0,
e a_0, a_1 são livres.

Passo 4

Para a primeira solução escolhemos a_0=1, a_1=0. Calculamos:
a_2=-\frac{0\cdot1\cdot a_1+a_0}{2\cdot1}=-\frac{1}{2},\quad a_3=-\frac{1\cdot2\cdot a_2+a_1}{3\cdot2}=\frac{1}{6},
a_4=-\frac{2\cdot3\cdot a_3+a_2}{4\cdot3}=-\frac{1}{24},\quad a_5=-\frac{3\cdot4\cdot a_4+a_3}{5\cdot4}=\frac{1}{60}.
Portanto a primeira série até x^5 é
y_1(x)=1-\tfrac12 x^2+\tfrac16 x^3-\tfrac1{24}x^4+\tfrac1{60}x^5+\cdots.

Passo 5

Para a segunda solução escolhemos a_0=0, a_1=1. Calculamos:
a_2=-\frac{0\cdot1\cdot a_1+a_0}{2\cdot1}=0,\quad a_3=-\frac{1\cdot2\cdot a_2+a_1}{3\cdot2}=-\tfrac{1}{6},
a_4=-\frac{2\cdot3\cdot a_3+a_2}{4\cdot3}=\tfrac{1}{12},\quad a_5=-\frac{3\cdot4\cdot a_4+a_3}{5\cdot4}=-\tfrac{1}{24}.
Então a segunda série até x^5 é
y_2(x)=x-\tfrac16 x^3+\tfrac1{12}x^4-\tfrac1{24}x^5+\cdots.

Resposta

A) x=0 é ponto ordinário, pois Q(x)=1/(x+1) é analítica em x=0.
B) Duas soluções independentes são
y_1(x)=1-\tfrac12 x^2+\tfrac16 x^3-\tfrac1{24}x^4+\tfrac1{60}x^5+\cdots,
y_2(x)=x-\tfrac16 x^3+\tfrac1{12}x^4-\tfrac1{24}x^5+\cdots.

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