Encontre o limite. Use a Regra de L’Hôpital quando for apropriado.
\lim _{x \rightarrow 0}\left(e^{x}+x\right)^{1 / x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0}\bigl(e^{x}+x\bigr)^{1/x}
usando a Regra de L’Hôpital quando for apropriado. O truque é transformar essa express~ao na forma \exp(\cdot) e depois calcular o limite do expoente, que ficar’a em forma de \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Escrevemos a expressão como
\bigl(e^{x}+x\bigr)^{1/x} =\exp\!\Bigl(\ln\bigl(e^{x}+x\bigr)^{1/x}\Bigr) =\exp\!\Bigl(\tfrac{1}{x}\,\ln\bigl(e^{x}+x\bigr)\Bigr).
Definimos o expoente
A(x)=\frac{\ln\bigl(e^{x}+x\bigr)}{x},
de modo que o limite original é \exp\bigl(\lim_{x\to0}A(x)\bigr).

Passo 3

Ao tentar x\to0 temos \ln(e^{0}+0)=\ln1=0 e x=0, logo A(x) 'e do tipo \tfrac{0}{0}. Podemos aplicar a Regra de L’H^opital em
\lim_{x\to0}A(x) =\lim_{x\to0}\frac{\ln\bigl(e^{x}+x\bigr)}{x} =\lim_{x\to0}\frac{\frac{d}{dx}\ln\bigl(e^{x}+x\bigr)}{\frac{d}{dx}(x)}.

Passo 4

Calculamos a derivada do numerador e do denominador:
\frac{d}{dx}\ln\bigl(e^{x}+x\bigr) =\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}, \qquad \frac{d}{dx}(x)=1.
Portanto
\lim_{x\to0}A(x) =\lim_{x\to0}\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x} =\frac{e^{0}+1}{e^{0}+0} =\frac{1+1}{1}=2.
Logo o expoente converge a 2 e o limite original é
\exp\bigl(\,2\bigr)=e^{2}.

Resposta

e^{2}

Exercícios relacionados