Encontre F^prime(2), dado que f(2)=-1, f^prime(2)=4, g(2)=1 e g^prime(2)=-5.
F(x)=x(f(x)+g(x))

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x)=xl(f(x)+g(x)r)
e fornece
f(2)=-1, f'(2)=4, g(2)=1, g'(2)=-5
O objetivo é calcular F'(2). Vamos usar as regras de derivação de produto e de soma de funções.

Passo 2

Aplicando a regra do produto a
F(x)=xcdotl(f(x)+g(x)r),
temos
F'(x)=l(xr)'l(f(x)+g(x)r)+xl(f(x)+g(x)r)'
Como (x)'=1 e l(f+gr)'=f'+g', isso vira
F'(x)=f(x)+g(x)+xl(f'(x)+g'(x)r)

Passo 3

Agora substituímos x=2 em
F'(x)=f(x)+g(x)+xl(f'(x)+g'(x)r),
obtendo
F'(2)=f(2)+g(2)+2l(f'(2)+g'(2)r)

Passo 4

Calculamos primeiro a soma dos valores das funções em 2:
f(2)+g(2) = -1 + 1 = 0

Passo 5

Em seguida, a soma das derivadas em 2:
f'(2)+g'(2) = 4 + (-5) = -1

Passo 6

Substituindo esses resultados em
F'(2)=f(2)+g(2)+2l(f'(2)+g'(2)r),
fica
F'(2)=0 + 2cdot(-1) = -2

Resposta

F'(2) = -2

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