(1.5) Seja f(x)=ln (x-1)+3
a. Determine o domínio e o gráfico de f.
b. Determine f^-1(x) e a imagem de f^-1.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=ln(x-1)+3
e pede:
a. o domínio e o gráfico de f;
b. a inversa f^-1 e a imagem de f^-1.
O conteúdo é função logarítmica e transformações de gráfico, além de inversão de função.

Passo 2

Para achar o domínio de f precisamos que o argumento do log seja positivo:
x-1>0Longrightarrow x>1
Logo o domínio de f é (1,infty).
O gráfico de f vem do de ln x aplicando uma translação de 1 unidade para a direita e 3 unidades para cima. Isso gera uma assíntota vertical em x=1 e as propriedades padrão de ln:
limxto1^+f(x)=-infty, limxto+inftyf(x)=+infty
Dois pontos de referência são
f(2)=ln(2-1)+3=3, f(e+1)=ln e+3=4

Passo 3

Para obter f^-1 trocamos x e y em
y=ln(x-1)+3
ficando
x=ln(y-1)+3
Subtraindo 3 e exponenciando:
ln(y-1)=x-3 Longrightarrow y-1=e^,x-3 Longrightarrow y=1+e^,x-3
Portanto
f^-1(x)=1+e^,x-3
O domínio de f^-1 é a imagem de f, que é todo R.

Passo 4

Para a imagem de f^-1 basta observar que
f^-1(x)=1+e^,x-3>1
para todo x. Assim a imagem de f^-1 é (1,infty).

Resposta

a. Domínio de f: (1,infty). O gráfico de f é o de ln x deslocado 1 para a direita e 3 para cima, com assíntota vertical em x=1.
b. f^-1(x)=1+e^,x-3. A imagem de f^-1 é (1,infty).

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