Encontre f^{\prime} e f^{\prime \prime} :
f(x)=\left(x^{2}+2 x\right) e^{x}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda de
f(x) = (x^2 + 2x)\,e^x.
O conteúdo aqui é a aplicação da regra do produto e da derivada de e^x, bem como a derivada de um polinômio.

Passo 2

Para achar f'(x), aplicamos a regra do produto em (x^2+2x) e e^x. Como
\frac{d}{dx}(x^2+2x) = 2x+2
e
\frac{d}{dx}e^x = e^x,
temos
f'(x) = (2x+2)\,e^x + (x^2+2x)\,e^x.
Fatorando e^x,
f'(x) = e^x\bigl(x^2 + 4x + 2\bigr).

Passo 3

Para achar f''(x), aplicamos novamente a regra do produto em
g(x)=x^2+4x+2 \quad\text{e}\quad h(x)=e^x.
Como
g'(x)=2x+4 \quad\text{e}\quad h'(x)=e^x,
segue
f''(x) = g'(x)\,e^x + g(x)\,e^x = (2x+4)\,e^x + (x^2+4x+2)\,e^x.
Fatorando e^x,
f''(x) = e^x\bigl(x^2 + 6x + 6\bigr).

Resposta

f'(x) = e^x\bigl(x^2 + 4x + 2\bigr).
f''(x) = e^x\bigl(x^2 + 6x + 6\bigr).

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