Encontre f^{\prime}(a).
f(t)=\frac{2 t+1}{t+3}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(t) = \frac{2t + 1}{t + 3}
e pede a derivada em um ponto genérico a, ou seja, f'(a).
O conteúdo aqui é derivação de função racional, e vamos usar a regra do quociente: se f(t)=\frac{u(t)}{v(t)}, então
f'(t)=\frac{u'(t)\,v(t) - u(t)\,v'(t)}{[v(t)]^{2}}.

Passo 2

Identificamos
u(t)=2t+1,\quad v(t)=t+3.
Calculamos as derivadas de cada parte:
u'(t)=2,\quad v'(t)=1.
Aplicando a regra do quociente:
f'(t) = \frac{2\,(t+3) - (2t+1)\cdot1}{(t+3)^{2}} = \frac{2t+6 -2t -1}{(t+3)^{2}} = \frac{5}{(t+3)^{2}}.

Passo 3

Para obter f'(a), basta substituir t=a na expressão de f'(t):
f'(a) = \frac{5}{(a+3)^{2}}.

Resposta

f'(a) = \frac{5}{(a+3)^{2}}.

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