Encontre f^prime(x) e f^prime prime(x)
f(x)=x1+raizx

Passo 1

O enunciado pede para encontrar ,f'(x) e ,f''(x) para
f(x)=x1+raizx
O conteúdo necessário envolve regra do produto, regra do quociente e regra da cadeia para derivadas de raízes.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=x,(1+raizx)^-1
e aplicamos a regra do produto:
f'(x) =underbrace1(x)'cdot(1+raizx)^-1 + xcdotl((1+raizx)^-1r)'
Para a derivada do segundo fator usamos a regra da cadeia: se u(x)=1+raizx, então
l(u^-1r)'=-1,u^-2,u' e u'(x)=12raizx
Logo,
f'(x) =(1+raizx)^-1 - xcdot(1)cdot u^-2,12raizx =11+raizx -x2raizx,(1+raizx)^2

Passo 3

Agora simplificamos f'(x). Colocando denominação comum 2raizx,(1+raizx)^2:
11+raizx =2raizx(1+raizx)2raizx(1+raizx)^2, x2raizx(1+raizx)^2 =x2raizx(1+raizx)^2
Subtraindo numeradores:
f'(x) =2raizx(1+raizx)-x2raizx(1+raizx)^2 =2raizx+2x-x2raizx(1+raizx)^2 =x+2raizx2raizx(1+raizx)^2
Cancelando raizx em cima e embaixo:
f'(x) =raizx+22,(1+raizx)^2

Passo 4

Para f''(x) derivamos
f'(x) =u(x)v(x), u(x)=raizx+2, v(x)=2,(1+raizx)^2
Usamos a regra do quociente:
f''(x) =u'v - u,v'v^2
Aqui
u'(x)=12raizx, v'(x)=2cdot2,(1+raizx)cdot12raizx =2,(1+raizx)raizx
Então
u'v =12raizxcdot2,(1+raizx)^2 =(1+raizx)^2raizx, u,v' =(raizx+2),2,(1+raizx)raizx
Logo o numerador de f'' é
(1+raizx)^2raizx -2(raizx+2)(1+raizx)raizx =(1+raizx)l[(1+raizx)-2(raizx+2)r]raizx =-(1+raizx)(3+raizx)raizx
E o denominador é
v^2 =l[2,(1+raizx)^2r]^2 =4,(1+raizx)^4

Passo 5

Portanto,
f''(x) =-(1+raizx)(3+raizx)raizx;4,(1+raizx)^4 =-3+raizx4,raizx,(1+raizx)^3

Resposta

f'(x)=raizx+22,(1+raizx)^2, f''(x)=-3+raizx4,raizx,(1+raizx)^3

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