Encontre f^prime(x) e f^prime prime(x)
f(x)=xx^2-1

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a primeira e a segunda derivadas de
f(x)=xx^2-1
O conteúdo principal aqui é derivação de função racional: primeiro usamos a regra do quociente para obter f'(x) e depois aplicamos produto e cadeia para chegar em f''(x).

Passo 2

Seja
u(x)=x, v(x)=x^2-1
Então
u'(x)=1, v'(x)=2x
e, pela regra do quociente,
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =1cdot(x^2-1)-xcdot(2x)(x^2-1)^2 =x^2-1-2x^2(x^2-1)^2

Passo 3

Note que
x^2-1-2x^2=-x^2-1=-(x^2+1),
logo
f'(x)=-x^2+1(x^2-1)^2

Passo 4

Para achar f''(x), reescrevemos
f'(x)=-l(x^2+1r),(x^2-1)^-2
e usamos produto e cadeia. Temos
l(x^2+1r)'=2x, l((x^2-1)^-2r)'=-2,(x^2-1)^-3cdot2x=-4x,(x^2-1)^-3
Então
f''(x) =-l[2x,(x^2-1)^-2+(x^2+1),(-4x,(x^2-1)^-3)r]

Passo 5

Distribuindo o sinal e fatorando x,(x^2-1)^-3:
f''(x) =-2x,(x^2-1)^-2+4x,(x^2+1),(x^2-1)^-3 =x,(x^2-1)^-3l[-2(x^2-1)+4(x^2+1)r]
No colchete aparece
-2(x^2-1)+4(x^2+1)=-2x^2+2+4x^2+4=2x^2+6=2(x^2+3),
logo
f''(x)=2x,x^2+3(x^2-1)^3

Resposta

f'(x)=-x^2+1(x^2-1)^2, f''(x)=2x,(x^2+3)(x^2-1)^3

Exercícios relacionados