Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
((3 x cos 3 x+sen 3 x-3) d x+(2 y+5) d y=0)
((3 x cos 3 x+sen 3 x-3) d x+(2 y+5) d y=0)
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial
O conteúdo aqui é de equações diferenciais exatas. Vamos verificar a condição de exatidão
e, se for exata, encontrar uma função potencial
tal que
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos
tal que
. Integramos
em relação a
:
Para isso dividimos em três integrais:
Usando partes em
:
Além disso,
Somando tudo e incluindo uma função de
,
Passo 4
Agora impomos
:
Logo a função potencial completa é
Resposta
A solução geral implícita da equação exata é