Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
((3 x cos 3 x+sen 3 x-3) d x+(2 y+5) d y=0)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial
(3xcos3x + sin3x - 3),dx + (2y+5),dy = 0
O conteúdo aqui é de equações diferenciais exatas. Vamos verificar a condição de exatidão partial M/partial y = partial N/partial x e, se for exata, encontrar uma função potencial psi(x,y) tal que
psix = M(x,y)epsiy = N(x,y)

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 3xcos3x + sin3x - 3, N(x,y) = 2y + 5
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 0, partial Npartial x = 0
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos psi(x,y) tal que psix = M. Integramos M em relação a x:
psi(x,y) = integrall(3xcos3x + sin3x - 3r),dx
Para isso dividimos em três integrais:
integral3xcos3x,dx, integralsin3x,dx, integral(-3),dx
Usando partes em integral3xcos3x,dx:
integral3xcos3x,dx = xsin3x - integralsin3x,dx = xsin3x + tfrac13cos3x
Além disso,
integralsin3x,dx = -tfrac13cos3x, integral(-3),dx = -3x
Somando tudo e incluindo uma função de y,
psi(x,y) = xsin3x + tfrac13cos3x - tfrac13cos3x - 3x + g(y) = xsin3x - 3x + g(y)

Passo 4

Agora impomos psiy = N:
psiy = g'(y) = 2y + 5 Longrightarrow g(y) = integral(2y+5),dy = y^2 + 5y + C
Logo a função potencial completa é
psi(x,y) = xsin3x - 3x + y^2 + 5y

Resposta

A solução geral implícita da equação exata é
xsin3x - 3x + y^2 + 5y = C

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