Encontre a série de Fourier das funções abaixo, e faça um esboço de seu gráfico.
.
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier da função
estendida periodicamente com período
.
Conteúdo: expansão em série de Fourier em . Vamos precisar usar definição dos coeficientes
Conteúdo: expansão em série de Fourier em
Passo 2
Observamos a paridade de
: como
é função ímpar e
também é ímpar, o produto
é uma função par. Logo, todos os coeficientes
são zero e sobram apenas
e
.
Passo 3
Calculamos
Fazendo integração por partes em
(tomando
,
), obtém-se
. Então
e o termo constante na série é
.
Passo 4
Para
calculamos
Usamos a identidade
e a integral padrão
Depois de simplificar, chega-se a
Passo 5
O caso
precisa tratamento separado:
Passo 6
Reunindo tudo, a série de Fourier fica
Como esboço, note que
é par e contínua em
, com forma de “pulsos” que lembram
truncada e repetida.