Encontre a série de Fourier das funções abaixo, e faça um esboço de seu gráfico.
f(x)=x sen(x),-pi<x <= pi, f(x+2 pi)=f(x).

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier da função
f(x)=xsin(x), -pi < x <= pi,
estendida periodicamente com período 2pi.
Conteúdo: expansão em série de Fourier em (- pi,pi). Vamos precisar usar definição dos coeficientes
a0=1piintegral-pi^pif(x),dx, an=1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx, bn=1piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx

Passo 2

Observamos a paridade de f: como x é função ímpar e sin(x) também é ímpar, o produto
f(x)=xsin(x)
é uma função par. Logo, todos os coeficientes bn são zero e sobram apenas a0 e an.

Passo 3

Calculamos
a0=1piintegral-pi^pixsin(x),dx =2piintegral0^pixsin(x),dx
Fazendo integração por partes em integral0^pixsin(x),dx (tomando u=x, dv=sin x,dx), obtém-se pi. Então
a0=2picdotpi=2,
e o termo constante na série é a0/2=1.

Passo 4

Para n>=2 calculamos
an=1piintegral-pi^pixsin(x)cos(nx),dx =2piintegral0^pixsin(x)cos(nx),dx
Usamos a identidade
sin(x)cos(nx) =tfrac12l[sin((n+1)x)+sin((1-n)x)r]
e a integral padrão
integral0^pixsin(kx),dx =-pi(-1)^kk
Depois de simplificar, chega-se a
an=-2(-1)^nn^2-1, n>=2

Passo 5

O caso n=1 precisa tratamento separado:
a1=2piintegral0^pixsin(x)cos(x),dx =1piintegral0^pixsin(2x),dx =-12

Passo 6

Reunindo tudo, a série de Fourier fica
f(x)=xsin(x) =1 -tfrac12cos(x) -2sumn=2^infty(-1)^nn^2-1cos(nx)
Como esboço, note que f(x) é par e contínua em pmpi, com forma de “pulsos” que lembram xsin x truncada e repetida.

Resposta

xsin(x) =1 -12cos(x) -2sumn=2^infty(-1)^nn^2-1cos(nx)

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