Encontre f^prime(x).
f(x)=sen xx^2+sen x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=sin xx^2+sin x
O conteúdo é a regra do quociente para derivadas, que diz que se ,f(x)=u(x)v(x), então
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Aqui precisaremos de u'(x) e v'(x), onde u(x)=sin x e v(x)=x^2+sin x.

Passo 2

Definimos
u(x)=sin x, v(x)=x^2+sin x
Derivando cada uma:
u'(x)=cos x, v'(x)=2x+cos x

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =cos x,(x^2+sin x)-sin x,(2x+cos x)(x^2+sin x)^2

Passo 4

Agora simplificamos o numerador:
cos x,(x^2+sin x)-sin x,(2x+cos x) =x^2cos x+cos xsin x-2xsin x-sin xcos x =x^2cos x-2xsin x
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f'(x) =x^2cos x-2xsin x(x^2+sin x)^2 =xl(xcos x-2sin xr)(x^2+sin x)^2

Resposta

f'(x) =x^2cos x-2xsin x(x^2+sin x)^2 ;=; xl(xcos x-2sin xr)(x^2+sin x)^2

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