É verdade que se
, então
é conservativo?
Passo 1
O enunciado pergunta se o fato de um campo vetorial
satisfazer
implica que
é conservativo. O tema é cálculo vetorial, e para resolver precisamos lembrar a definição de campo conservativo e as hipóteses de domínio que garantem equivalência com “curl zero”.
Passo 2
Um campo
é dito conservativo se existe uma função potencial
tal que
o que equivale a dizer que as integrais de linha de
são independentes do caminho e que
para qualquer curva fechada
.
Passo 3
O Teorema Fundamental do Cálculo Vetorial estabelece que, se
é de classe
num domínio simplesmente conexo (isto é, sem “buracos”) de
, então
é condição suficiente e necessária para que
seja conservativo.
Passo 4
Sem a hipótese de domínio simplesmente conexo, a implicação pode falhar. Um contra-exemplo clássico em
(viewed in
) é
- Calcula-se diretamente que
em todo o domínio.
2. Porém, ao parametrizar o círculo unitário ,
, obtemos
2. Porém, ao parametrizar o círculo unitário
logo não existe potencial global e
não é conservativo.
Resposta
Não necessariamente. Se o domínio de
for simplesmente conexo (e
for
), então de fato
implica que
é conservativo. Mas, sem essa hipótese topológica, há campos com curl nulo que não são conservativos.