É verdade que se nabla times F=0, então F é conservativo?

Passo 1

O enunciado pergunta se o fato de um campo vetorial F satisfazer
nabla times F = 0
implica que F é conservativo. O tema é cálculo vetorial, e para resolver precisamos lembrar a definição de campo conservativo e as hipóteses de domínio que garantem equivalência com “curl zero”.

Passo 2

Um campo F é dito conservativo se existe uma função potencial phi tal que
F = nabla phi,
o que equivale a dizer que as integrais de linha de F são independentes do caminho e que
ointC Fcdot dr = 0
para qualquer curva fechada C.

Passo 3

O Teorema Fundamental do Cálculo Vetorial estabelece que, se F é de classe C^1 num domínio simplesmente conexo (isto é, sem “buracos”) de R^n, então
nabla times F = 0
é condição suficiente e necessária para que F seja conservativo.

Passo 4

Sem a hipótese de domínio simplesmente conexo, a implicação pode falhar. Um contra-exemplo clássico em R^2setminus0 (viewed in R^3) é
F(x,y) = l(-yx^2+y^2,,xx^2+y^2,,0r)
  1. Calcula-se diretamente que
nabla times F = 0
em todo o domínio.
2. Porém, ao parametrizar o círculo unitário Ccolon (x,y)=(cos t,sin t), tin[0,2pi], obtemos
ointC Fcdot dr = integral0^2pi1,dt =2pineq0,
logo não existe potencial global e F não é conservativo.

Resposta

Não necessariamente. Se o domínio de F for simplesmente conexo (e F for C^1), então de fato
nabla times F=0 implica que F é conservativo. Mas, sem essa hipótese topológica, há campos com curl nulo que não são conservativos.

Exercícios relacionados