Mostre que
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrar que a soma da sequência
é menor ou igual a 1 para todo número natural
. Vamos usar o conceito de progressão geométrica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma progressão geométrica. É uma sequência de números onde cada termo depois do primeiro é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. No nosso caso, a razão
é
.
Passo 3
A soma dos
primeiros termos de uma progressão geométrica é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a soma dos termos, -
é o primeiro termo, -
é a razão.
Passo 4
No nosso exercício:
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos analisar a expressão
. Como
é sempre positivo para todo
, então
é positivo e menor que 1.
Passo 6
Portanto,
será sempre menor que 1, já que estamos subtraindo um número positivo. Assim:
Resposta
Concluímos que
para todo
.