Mostre que 12+14+18+cdots+12^n <= 1 para todo n in N.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrar que a soma da sequência 12 + 14 + 18 + cdots + 12^n é menor ou igual a 1 para todo número natural n. Vamos usar o conceito de progressão geométrica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma progressão geométrica. É uma sequência de números onde cada termo depois do primeiro é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. No nosso caso, a razão r é 12.

Passo 3

A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é dada pela fórmula:
Sn = a1 cdot 1 - r^n1 - r
Onde:
  • Sn é a soma dos n termos,
  • a1 é o primeiro termo,
  • r é a razão.

Passo 4

No nosso exercício:
  • a1 = 12
  • r = 12
Substituindo na fórmula:
Sn = 12 cdot 1 - (12)^n1 - 12 = 12 cdot 1 - 12^n12 = 1 - 12^n

Passo 5

Agora, vamos analisar a expressão 1 - 12^n. Como 2^n é sempre positivo para todo n in N, então 12^n é positivo e menor que 1.

Passo 6

Portanto, 1 - 12^n será sempre menor que 1, já que estamos subtraindo um número positivo. Assim:
Sn = 1 - 12^n <= 1

Resposta

Concluímos que 12 + 14 + 18 + cdots + 12^n <= 1 para todo n in N.

Exercícios relacionados