Encontre a primitiva (antiderivada) mais geral de cada função dada abaixo:
;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a primitiva (a antiderivada) mais geral dessa função. Informações relevantes que temos:
- A função é a soma de duas partes:
e . - A primitiva buscada é uma função
tal que . - A primitiva geral deve conter uma constante arbitrária
(pois derivadas anulam constantes).
Não vamos resolver aqui — apenas identificamos o que é pedido e os dados fornecidos.
Passo 2
Conceito-chave: primitiva (ou antiderivada).
- Uma primitiva de
é uma função tal que para todo do domínio. - A primitiva geral difere por uma constante: se
é primitiva, então com também é primitiva.
Propriedade útil (linearidade da integração): -
. -
para constante .
Vamos usar essas propriedades para integrar termo a termo.
Passo 3
Integração do primeiro termo
.
- Fato conhecido: a derivada de
é . Portanto, uma primitiva de é ela mesma. - Logo,
Aqui
é a variável independente (aquela com respeito à qual diferenciamos/integrarmos).
Passo 4
Integração do segundo termo
.
- Usamos a regra do potência: para
,
- No nosso caso
, então
- Como temos um sinal negativo, o resultado é
(Explicação rápida: ao derivar
obtemos
, portanto o antiderivado está correto.)
Passo 5
Combinação dos resultados e inclusão da constante de integração.
- Somando as primitivas dos termos (pelo passo 2):
onde
é a constante arbitrária.
Verificação rápida (demonstração de que está certo): derive :
Verificação rápida (demonstração de que está certo): derive
logo está correto.