Encontre a primitiva (antiderivada) mais geral de cada função dada abaixo:
f(x)=e^{x}-x^{2};

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=e^{x}-x^{2} e pede a primitiva (a antiderivada) mais geral dessa função. Informações relevantes que temos:
  • A função é a soma de duas partes: e^{x} e -x^{2}.
  • A primitiva buscada é uma função F(x) tal que F'(x)=f(x).
  • A primitiva geral deve conter uma constante arbitrária C (pois derivadas anulam constantes).
    Não vamos resolver aqui — apenas identificamos o que é pedido e os dados fornecidos.

Passo 2

Conceito-chave: primitiva (ou antiderivada).
  • Uma primitiva de f é uma função F tal que F'(x)=f(x) para todo x do domínio.
  • A primitiva geral difere por uma constante: se F é primitiva, então F+C com C\in\mathbb{R} também é primitiva.
    Propriedade útil (linearidade da integração):
  • \displaystyle \int (g(x)+h(x))\,dx = \int g(x)\,dx + \int h(x)\,dx.
  • \displaystyle \int a\cdot g(x)\,dx = a\int g(x)\,dx para constante a.
    Vamos usar essas propriedades para integrar termo a termo.

Passo 3

Integração do primeiro termo \displaystyle e^{x}.
  • Fato conhecido: a derivada de \displaystyle e^{x} é \displaystyle e^{x}. Portanto, uma primitiva de \displaystyle e^{x} é ela mesma.
  • Logo,
\int e^{x}\,dx = e^{x}.
Aqui x é a variável independente (aquela com respeito à qual diferenciamos/integrarmos).

Passo 4

Integração do segundo termo \displaystyle -x^{2}.
  • Usamos a regra do potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.
  • No nosso caso n=2, então
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
  • Como temos um sinal negativo, o resultado é
\int -x^{2}\,dx = -\frac{x^{3}}{3}.
(Explicação rápida: ao derivar \frac{x^{3}}{3} obtemos 3\cdot\frac{x^{2}}{3}=x^{2}, portanto o antiderivado está correto.)

Passo 5

Combinação dos resultados e inclusão da constante de integração.
  • Somando as primitivas dos termos (pelo passo 2):
\int (e^{x}-x^{2})\,dx = \int e^{x}\,dx + \int (-x^{2})\,dx = e^{x} - \frac{x^{3}}{3} + C,
onde C\in\mathbb{R} é a constante arbitrária.
Verificação rápida (demonstração de que está certo): derive F(x)=e^{x}-\dfrac{x^{3}}{3}+C:
F'(x)=\frac{d}{dx}\left(e^{x}\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{3}}{3}\right)+\frac{d}{dx}C = e^{x}-x^{2}+0 = f(x),
logo está correto.

Resposta

F(x)=e^{x}-\frac{x^{3}}{3}+C

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