Encontre f(x), sabendo-se que f(\pi)=2 e
f^{\prime}(x)=\operatorname{sen} x+x

Passo 1

O enunciado pede achar a função f(x) sabendo que sua derivada é
f'(x)=\sin x + x
e que ela satisfaz a condição inicial f(\pi)=2. O conteúdo necessário é calcular uma antiderivada e determinar a constante de integração.

Passo 2

Para obter f(x) basta integrar f'(x):
\int\bigl(\sin x + x\bigr)\,dx = \int\sin x\,dx + \int x\,dx = -\cos x + \frac{x^2}{2} + C.
Portanto
f(x) = -\cos x + \frac{x^2}{2} + C.

Passo 3

Usamos a condição f(\pi)=2. Substituindo x=\pi na expressão de f(x):
f(\pi) = -\cos\pi + \frac{\pi^2}{2} + C = -(-1) + \frac{\pi^2}{2} + C = 1 + \frac{\pi^2}{2} + C.
Como isso deve ser igual a 2, temos
1 + \frac{\pi^2}{2} + C = 2 \quad\Longrightarrow\quad C = 2 - 1 - \frac{\pi^2}{2} = 1 - \frac{\pi^2}{2}.

Resposta

f(x) = -\cos x + \frac{x^2}{2} + 1 - \frac{\pi^2}{2}.

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