Use a continuidade para calcular o limite.
\lim _{x \rightarrow 0} e^{\frac{\tan x}{x}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to 0} e^{\frac{\tan x}{x}}
O que vamos usar é que a função exponencial e^u é contínua para todo u, então podemos passar o limite para o expoente. Para isso, basta calcular primeiro
\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}.

Passo 2

Para achar
\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}
podemos usar a regra de l’H^opital, pois tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero. Derivando em cima e embaixo:
\frac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^2 x \quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}(x)=1.
Logo,
\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x} =\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sec}^2 x}{1} =\operatorname{sec}^2(0)=1.

Passo 3

Agora que sabemos
\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1,
pela continuidade de e^u temos
\lim_{x\to0}e^{\frac{\tan x}{x}} =e^{\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}} =e^1=e.

Resposta

e

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