Resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Encontre o intervalo no qual a solução geral seja válida. y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=1 /\left(1+e^{x}\right)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear não homogênea
y'' + 3y' + 2y = \frac{1}{1 + e^x}
e pede para resolver pelo método da variação de parâmetros, encontrando também o intervalo em que a solução geral é válida. Para isso precisamos (i) achar as soluções fundamentais da homogênea, (ii) calcular o Wronskiano, (iii) montar as fórmulas de variação de parâmetros para u_1' e u_2', (iv) integrar para obter u_1 e u_2 e (v) escrever a solução geral e discutir seu domínio de validade.
O termo não homogêneo \tfrac1{1+e^x} está bem definido para todo x, e o Wronskiano nunca se anula. Portanto a solução geral é válida em todo o eixo real \;(-\infty,\infty).