Use a continuidade para calcular o limite.
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \ln (\operatorname{sen} x+\cos x)

Passo 1

O enunciado pede calcular
L = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \ln\bigl(\sin x + \cos x\bigr)
usando o fato de que é uma função composta de soma de funções contínuas ( \sin x, \cos x) com o \ln, que também é contínuo em seus pontos de domínio positivo.

Passo 2

Como \sin x e \cos x são contínuas em todo \mathbb{R}, a soma \sin x + \cos x é contínua. Logo
\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\bigl(\sin x + \cos x\bigr) = \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) + \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}.
Além disso, \sqrt{2}>0, de modo que o argumento de \ln permanece no domínio de continuidade de \ln.

Passo 3

Como \ln(u) é contínua para u>0, vale
L = \ln\!\Bigl(\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\bigl(\sin x + \cos x\bigr)\Bigr) = \ln\bigl(\sqrt{2}\bigr).

Resposta

\ln\bigl(\sqrt{2}\bigr)

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