Qual o maior valor para o volume de um cone entre os que possuem raio mais altura igual a 10 m ?

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o maior volume possível de um cone circular reto cujos parâmetros raio r e altura h satisfazem a restrição
r + h = 10.
O conteúdo envolvido é otimização de função de uma variável usando derivada.

Passo 2

Escrevemos o volume do cone em função de r apenas. Sabemos que
V = \frac{1}{3}\pi r^2 h
e, pela restrição, h = 10 - r. Logo
V(r) = \frac{1}{3}\pi r^2 (10 - r) = \frac{\pi}{3}\bigl(10r^2 - r^3\bigr).

Passo 3

Para achar o ponto crítico, derivamos V(r) e igualamos a zero:
V'(r) = \frac{\pi}{3}\bigl(20r - 3r^2\bigr) = \frac{\pi}{3}\,r\,(20 - 3r).
As raízes são r = 0 e r = \tfrac{20}{3}. Como r=0 anula o volume, o candidato não trivial é
r = \frac{20}{3}.
Verificamos que V''(r) = \frac{\pi}{3}(20 - 6r), que em r=\tfrac{20}{3} é negativo, confirmando máximo.

Passo 4

No ponto ótimo temos
h = 10 - \frac{20}{3} = \frac{10}{3},
e o volume máximo é
V_{\max} = \frac{1}{3}\pi \Bigl(\frac{20}{3}\Bigr)^{\!2}\Bigl(\frac{10}{3}\Bigr) = \frac{4000\pi}{81}\,\text{m}^3.

Resposta

O maior volume é \displaystyle \frac{4000\pi}{81}\,\text{m}^3.

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