Nos exercícios 19 a 21 use o método desenvolvido acima, para determinar a solução geral das equações.
(y^{\prime}=\frac{x+y+4}{x+y-6})

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \frac{x + y + 4}{x + y - 6}.
Essa equação não é exata nem linear na forma usual, mas observa-se que o numerador e o denominador dependem apenas de x+y. Então, podemos usar a mudança de variável
z = x + y
para simplificar.

Passo 2

Definindo z = x + y, temos
\frac{dz}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}
e, pela equação original,
\frac{dz}{dx} = 1 + \frac{z + 4}{z - 6}.

Passo 3

Simplificando o lado direito:
\frac{dz}{dx} = \frac{z-6}{z-6} + \frac{z+4}{z-6} = \frac{2z - 2}{z - 6} = \frac{2\,(z - 1)}{z - 6}.

Passo 4

Separamos variáveis:
\frac{z - 6}{\,z - 1\,}\,dz = 2\,dx.

Passo 5

Integramos ambos os lados. Como
\frac{z - 6}{z - 1} = 1 - \frac{5}{z - 1},
temos
\int \frac{z - 6}{z - 1}\,dz = \int \Bigl(1 - \frac{5}{z - 1}\Bigr)dz = z - 5\ln\bigl|z - 1\bigr| + C_1,
enquanto
\int 2\,dx = 2x + C_2.
Igualando e juntando as constantes em C:
z - 5\ln\bigl|z - 1\bigr| = 2x + C.

Passo 6

Voltando a z = x + y, obtemos
x + y - 5\ln\bigl|x + y - 1\bigr| = 2x + C \quad\Longrightarrow\quad y - x - 5\ln\bigl|x + y - 1\bigr| = C.

Resposta

y - x - 5\ln\bigl|x + y - 1\bigr| = C.

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