Nos exercícios 12 a 17 verifique quais equações são homogêneas e resolva-as.
(e{\frac{y}{x}}+y{\prime}-\frac{y}{x}=0)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
e^{\frac{y}{x}} + y' - \frac{y}{x} = 0
Este é um caso de equação de primeira ordem em que o termo não depende de x e y separadamente, mas sim da razão \frac{y}{x}. Logo, trata-se de uma equação homogênea do tipo y' = F\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr).

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando y':
y' = \frac{y}{x} - e^{\frac{y}{x}}.
Aqui vemos que o lado direito é função de u=\frac{y}{x} apenas, confirmando a homogeneidade.

Passo 3

Fazemos a substituição padrão para equações homogêneas:
y = u\,x \quad\Longrightarrow\quad y' = u + x\,\frac{du}{dx}.
Substituindo em y' = \tfrac{y}{x} - e^{y/x} obtemos
u + x\,\frac{du}{dx} = u - e^{u} \quad\Longrightarrow\quad x\,\frac{du}{dx} = -\,e^{u}.

Passo 4

Agora separamos variáveis em u e x:
\frac{du}{dx} = -\frac{e^{u}}{x} \quad\Longrightarrow\quad e^{-u}\,du = -\,\frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados:
\int e^{-u}\,du = -\int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad -\,e^{-u} = -\ln\lvert x\rvert + C_1.
Simplificando, definindo C=-C_1:
e^{-u} = \ln\lvert x\rvert + C.

Passo 5

Voltando à variável original u=\frac{y}{x}, a solução geral fica
e^{-\frac{y}{x}} = \ln\lvert x\rvert + C.

Resposta

A solução geral da equação
e^{\frac{y}{x}} + y' - \frac{y}{x} = 0
é dada implicitamente por
e^{-\frac{y}{x}} = \ln\lvert x\rvert + C.

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