Nos exercícios 12 a 17 verifique quais equações são homogêneas e resolva-as.
(e{\frac{y}{x}}+y{\prime}-\frac{y}{x}=0)
(e{\frac{y}{x}}+y{\prime}-\frac{y}{x}=0)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Este é um caso de equação de primeira ordem em que o termo não depende de
e
separadamente, mas sim da razão
. Logo, trata-se de uma equação homogênea do tipo
.
Passo 2
Reescrevemos a equação isolando
:
Aqui vemos que o lado direito é função de
apenas, confirmando a homogeneidade.
Passo 3
Fazemos a substituição padrão para equações homogêneas:
Substituindo em
obtemos
Passo 4
Agora separamos variáveis em
e
:
Integramos ambos os lados:
Simplificando, definindo
:
Passo 5
Voltando à variável original
, a solução geral fica
Resposta
A solução geral da equação
é dada implicitamente por