Resolva as equações diferenciais:
(y+2 x) d x+\left(x+e^{y}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a forma diferencial
(y+2x)\,dx + \bigl(x + e^y\bigr)\,dy = 0
e pede a solução geral. Aqui o conteúdo é estudar equações diferenciais exatas: verificamos se existe uma função \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = y + 2x \quad\text{e}\quad \frac{\partial \psi}{\partial y} = x + e^y.

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão comparando as derivadas parciais:
\frac{\partial}{\partial y}(y+2x) = 1, \qquad \frac{\partial}{\partial x}(x+e^y) = 1.
Como ambas são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe \psi(x,y) com
\frac{\partial \psi}{\partial x} = y + 2x.
Para encontrar \psi, integramos em relação a x:
\psi(x,y) = \int (y + 2x)\,dx = xy + x^2 + C(y),
onde C(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Agora usamos
\frac{\partial \psi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy + x^2 + C(y)\bigr) = x + C'(y)
e igualamos a x + e^y. Logo
C'(y) = e^y \quad\Longrightarrow\quad C(y) = e^y.

Passo 5

Substituindo C(y) em \psi obtemos a função potencial completa:
\psi(x,y) = x^2 + xy + e^y.
A solução geral da equação diferencial exata é dada por \psi(x,y)=\text{constante}.

Resposta

x^2 + xy + e^y = C.

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