A equação para o número de infectados pela doença X2T30 é \mathrm{N}^{\prime}=k \mathrm{~N}\left(\mathrm{~N}_{0}-\mathrm{N}\right), onde N_{0} é a população total envolvida (infectados+não-infectados). Quanto vale N(t) para N_{0}=1005 pessoas, N(0)=5 pessoas e N^{\prime}(0)=250 pessoas / mês?

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial logística
N' = k\,N\,(N_{0}-N)
com N_{0}=1005, condição inicial N(0)=5 e derivada inicial N'(0)=250. Queremos achar N(t). Para isso, primeiro determinamos k e depois escrevemos a solução geral da curva logística.

Passo 2

Usamos N'(0)=k\,N(0)\bigl(N_{0}-N(0)\bigr). Substituindo os valores:
250 = k \cdot 5 \cdot (1005-5) = 5000\,k
Logo,
k = \frac{250}{5000} = 0{,}05\\ (\text{mês}^{-1}).ê

Passo 3

A forma geral da solução da equação logística é
N(t) = \frac{N_{0}}{1 + A\,e^{-\,k\,N_{0}\,t}},
onde A é uma constante fixada por N(0). Em t=0,
N(0) = \frac{N_{0}}{1 + A} = 5 \quad\Longrightarrow\quad 1 + A = \frac{1005}{5} = 201 \quad\Longrightarrow\quad A = 200.

Passo 4

Substituindo N_{0}=1005, k=0{,}05 e A=200 na solução geral, temos
N(t) = \frac{1005}{1 + 200\,e^{-\,0{,}05\cdot1005\,t}} = \frac{1005}{1 + 200\,e^{-50{,}25\,t}}.

Resposta

N(t) = \frac{1005}{1 + 200\,e^{-50{,}25\,t}}.

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