Encontre a família de soluções de cada equação diferencial,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que se encontre a família de soluções (a solução geral).
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A derivada de
em função de é igual à soma de duas funções conhecidas de : e . - Não foi dada nenhuma condição inicial, então deve-se apresentar a solução com a constante de integração
.
Observação: aquié a notação em português para .
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): quando a equação é da forma
isso significa que queremos uma função
cuja derivada é
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, uma forma direta de obter
é integrar ambos os lados em relação a
. Ou seja, se
então
onde
é a constante de integração (porque a derivada de uma constante é zero, então qualquer constante pode ser adicionada). Aqui
.
Passo 3
Calcular a integral termo a termo (explicando cada integral):
- Regra para
: a exponencial é sua própria derivada, logo
- Regra para
: a derivada de é , portanto a primitiva de é , isto é
Somando as duas primitivas e incluindo a constante de integração
, obtemos
Passo 4
Verificação (checar que a solução realmente funciona): derivando a função encontrada deve recuperar o lado direito da equação.
Se definimos , então
Se definimos
Como essa derivada coincide com a dada em
, a solução está correta.
Passo 5
Observação prática para prova: se no enunciado aparecer uma condição inicial do tipo
, basta substituir
e
na expressão geral e resolver para a constante
. Exemplo rápido: se
, então
, logo
.