Encontre a família de soluções de cada equação diferencial,
u^{\prime}=e^{t}+\operatorname{sen}(t)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
u'(t)=e^{t}+\operatorname{sen}(t),
e pede que se encontre a família de soluções (a solução geral).
Informações fornecidas:
  • A derivada de u em função de t é igual à soma de duas funções conhecidas de t: e^{t} e \operatorname{sen}(t).
  • Não foi dada nenhuma condição inicial, então deve-se apresentar a solução com a constante de integração C.
    Observação: aqui \operatorname{sen}(t) é a notação em português para \sin(t).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando a equação é da forma
u'(t)=f(t),
isso significa que queremos uma função u(t) cuja derivada é f(t). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, uma forma direta de obter u é integrar ambos os lados em relação a t. Ou seja, se \,u'(t)=f(t)\, então
u(t)=\int f(t)\,dt + C,
onde C é a constante de integração (porque a derivada de uma constante é zero, então qualquer constante pode ser adicionada). Aqui f(t)=e^{t}+\sin(t).

Passo 3

Calcular a integral termo a termo (explicando cada integral):
\int\bigl(e^{t}+\sin(t)\bigr)\,dt=\int e^{t}\,dt+\int \sin(t)\,dt.
  • Regra para \int e^{t}\,dt: a exponencial é sua própria derivada, logo
\int e^{t}\,dt = e^{t}.
  • Regra para \int \sin(t)\,dt: a derivada de \cos(t) é -\sin(t), portanto a primitiva de \sin(t) é -\cos(t), isto é
\int \sin(t)\,dt = -\cos(t).
Somando as duas primitivas e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int\bigl(e^{t}+\sin(t)\bigr)\,dt = e^{t}-\cos(t)+C.

Passo 4

Verificação (checar que a solução realmente funciona): derivando a função encontrada deve recuperar o lado direito da equação.
Se definimos u(t)=e^{t}-\cos(t)+C, então
u'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\bigr)-\frac{d}{dt}\bigl(\cos(t)\bigr)+\frac{d}{dt}\text{(C)} = e^{t}-\bigl(-\sin(t)\bigr)+0 = e^{t}+\sin(t).
Como essa derivada coincide com a dada em \,u'(t)=e^{t}+\sin(t)\,, a solução está correta.

Passo 5

Observação prática para prova: se no enunciado aparecer uma condição inicial do tipo u(t_{0})=u_{0}, basta substituir t=t_{0} e u=u_{0} na expressão geral e resolver para a constante C. Exemplo rápido: se u(0)=2, então 2=e^{0}-\cos(0)+C=1-1+C, logo C=2.

Resposta

u(t)=e^{t}-\cos(t)+C

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