Encontre uma família de soluções explícitas (especificando um intervalo I onde as soluções sejam válidas) para cada EDO abaixo
(y+4 x^2)+2 x d yd x=0

Passo 1

Temos a EDO (y + 4x^2) + 2xdydx = 0. Esse problema cai em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem do tipo linear em y(x). Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro isolamos dydx. Para xneq 0 dividimos toda a equação por 2x e obtemos a forma padrão
dydx + 12x,y = -2x

Passo 3

Em uma EDO linear dydx + P(x)y = Q(x) o fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx
Aqui temos P(x)=12x, então
mu(x) = e^integral 12x,dx = e^12ln|x| = |x|^1/2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=|x|^1/2. O lado esquerdo vira derivada de produto:
ddxl(y,|x|^1/2r) = -2x,|x|^1/2

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x. Note que
integral -2x,|x|^1/2,dx = -(4/5)|x|^5/2 + C
Portanto
y,|x|^1/2 = -45|x|^5/2 + C

Passo 6

Para terminar, isolamos y e tratamos as duas faixas de sinal de x:
  • Em I=(0,infty), |x|=x e
y(x) = -45x^2 + C,x^-1/2
  • Em I = (-infty,0), |x|=-x e
y(x) = -45x^2 + C,(-x)^-1/2

Resposta

Para I = (0,\infty):
y(x) = -45x^2 + C,x^-1/2, CinR
Para I = (-\infty,0):
y(x) = -45x^2 + C,(-x)^-1/2, CinR

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