Encontre uma família de soluções (implícitas) a um parâmetro para cada EDO abaixo.
(x^2+x y-y^2)+x y d yd x=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral (implícita) da EDO de primeira ordem
(x^2+x y - y^2) + x y d yd x = 0
Este é um caso de equação homogênea, pois a razão
x^2+xy - y^2xy
depende apenas de y/x. Vamos usar a substituição
y=vx
para transformar em uma equação separável.

Passo 2

Fazendo y=vx temos
dydx = v + xdvdx
Substituindo na EDO original:
x y,dydx = -l(x^2+x y - y^2r) Longrightarrow x,(v x),(v + xtfracdvdx) = -l(x^2+v x^2-v^2x^2r)
Divide ambos os lados por x^2 para simplificar.

Passo 3

Após dividir por x^2 obtemos
v,(v + xtfracdvdx) = -l(1 + v - v^2r),
que se rearranja como
v,xdvdx = -(1+v) Longrightarrow v1+v,dv = -dxx
Agora integramos ambos os lados.

Passo 4

Integrais:
integral v1+v,dv = integrall(1 - 11+vr)dv = v - lnlvert 1+vrvert,
integral -dxx = -lnlvert xrvert + C
Logo
v - lnlvert 1+vrvert = -lnlvert xrvert + C Longrightarrow v + lnlvert xrvert - lnlvert 1+vrvert = C
Voltando a v = y/x, isso dá a forma implícita da solução.

Passo 5

Reescrevendo em x,y:
yx + lnllvert x1 + tfracyxrrvert = C Long<=ftrightarrow yx + lnllvert x^2x+yrrvert = C

Resposta

yx + lnllvert x^2x+yrrvert = C,
onde C é a constante de integração.

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