Encontre uma família de soluções (implícitas) a um parâmetro para cada EDO abaixo.
(5 x+4 y)+(4 x-8 y^3) d yd x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(5x + 4y) ,+,(4x - 8y^3),dydx=0
que podemos reescrever em forma diferencial como
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
onde M(x,y)=5x+4y e N(x,y)=4x-8y^3. Vamos checar se esta forma é exata, isto é, se existe uma função potencial F(x,y) tal que
partial Fpartial x=M, partial Fpartial y=N

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =partialpartial y(5x+4y)=4,
partial Npartial x =partialpartial x(4x-8y^3)=4
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a forma é exata.

Passo 3

Buscamos F(x,y) integrando M em relação a x:
F(x,y) =integral (5x+4y),dx =52x^2+4xy + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Para encontrar h(y), impomos
partial Fpartial y =4x + h'(y) stackrel!=N(x,y)=4x-8y^3
Logo
h'(y)=-8y^3 Longrightarrow h(y)=integral -8y^3,dy=-2y^4
Portanto a função potencial é
F(x,y)=52x^2+4xy-2y^4

Resposta

A família geral de soluções implícitas é
52x^2 ;+;4xy;-;2y^4=C,
onde C é constante de integração.

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