Encontre uma família de soluções (implícitas) a um parâmetro para cada EDO abaixo.
(2 x-1)+(3 y+7) d yd x=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
(2x - 1) + (3y + 7)dydx = 0
e pede a família de soluções implícitas. Vamos tratar isso como uma equação diferencial exata no formato
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
verificando a exatidão e construindo a função potencial.

Passo 2

Reescrevendo em forma diferencial, temos
M(x,y) = 2x - 1, N(x,y) = 3y + 7,
de modo que a equação fica
(2x - 1),dx + (3y + 7),dy = 0

Passo 3

Verificamos se é exata calculando
partial Mpartial y = 0, partial Npartial x = 0
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M(x,y) = 2x - 1
Integrando em relação a x,
Psi(x,y) = integral (2x - 1),dx = x^2 - x + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 5

Para achar h(y), usamos
partial Psipartial y = h'(y) = N(x,y) = 3y + 7
Integramos em relação a y:
h(y) = integral (3y + 7),dy = tfrac32y^2 + 7y

Passo 6

Logo, a função potencial completa é
Psi(x,y) = x^2 - x + tfrac32y^2 + 7y
A família de curvas solução vem de Psi(x,y)=C.

Resposta

x^2 - x + 32y^2 + 7y = C

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