Encontre uma família de soluções (implícitas) a um parâmetro para cada EDO abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a EDO de primeira ordem
e pede a família de soluções implícitas. Vamos tratar isso como uma equação diferencial exata no formato
verificando a exatidão e construindo a função potencial.
Passo 2
Reescrevendo em forma diferencial, temos
de modo que a equação fica
Passo 3
Verificamos se é exata calculando
Como são iguais, a equação é exata.
Passo 4
Procuramos uma função potencial
tal que
Integrando em relação a
,
onde
é função a determinar.
Passo 5
Para achar
, usamos
Integramos em relação a
:
Passo 6
Logo, a função potencial completa é
A família de curvas solução vem de
.