Encontre uma família de soluções (implícitas) a um parâmetro para cada EDO abaixo.
x d yd x=2 x e^x-y+6 x^2

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
xdydx = 2x e^x - y + 6x^2
Isso é uma equação linear de primeira ordem em y(x). Para resolver, vamos colocar na forma padrão
dydx + P(x),y = Q(x), achar o fator integrante mu(x) e, em seguida, integrar.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x (pressupondo xneq0), obtemos
dydx + 1x,y = 2e^x + 6x
Aqui P(x)=1/x e Q(x)=2e^x+6x.

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 1x,dx = e^ln|x| = x

Passo 4

Multiplicando a equação por mu(x)=x, fica
xdydx + y = 2x e^x + 6x^2,
e o lado esquerdo é a derivada de x y:
ddxl(xyr) = 2x e^x + 6x^2

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x y = integrall(2x e^x + 6x^2r),dx
Vamos separar em duas integrais.

Passo 6

Para integral 2x e^x,dx, usamos integração por partes com u=2x, dv=e^xdx:
integral 2x e^x,dx = 2x e^x - integral 2e^x,dx = 2x e^x - 2e^x = 2(x-1)e^x

Passo 7

Para integral 6x^2,dx é direto:
integral 6x^2,dx = 2x^3

Passo 8

Somando e adicionando a constante de integração C, temos
x y = 2(x-1)e^x + 2x^3 + C
Essa é a forma implícita da família geral de soluções.

Resposta

x y - 2(x-1)e^x - 2x^3 = C

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