Encontre uma família de soluções a um parâmetro na forma implícita para cada EDO abaixo e também suas soluções constantes.
d yd x=y^2 sen(5 x)

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
dydx = y^2,sin(5x)
e pede (i) a família de soluções a um parâmetro na forma implícita e (ii) as soluções constantes. O conteúdo aqui é separação de variáveis.

Passo 2

Para achar as soluções constantes, impomos tfracdydx=0, de modo que
y^2,sin(5x)=0para todo x
Isto só ocorre se
y=0
Logo, a única solução constante é yequiv0.

Passo 3

Para as demais soluções, supondo yneq0, separamos as variáveis:
dyy^2 = sin(5x),dx

Passo 4

Agora integramos ambos os lados:
integral dyy^2 = integral sin(5x),dx
No lado esquerdo temos
integral y^-2,dy = -1y,
e no direito
integral sin(5x),dx = -15cos(5x) + C

Passo 5

Igualando e reorganizando, obtemos a forma implícita da família de soluções:
-1y ;=;- 15cos(5x) + C Longrightarrow 1y = 15cos(5x) + C',
onde C' é constante arbitrária.

Passo 6

Se quisermos explicitar y, basta inverter:
y = 1,C' + tfrac15cos(5x),

Resposta

Soluções constantes:
yequiv0
Família geral (implícita):
1y = 15cos(5x) + C'

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