Encontre uma família de soluções a um parâmetro na forma implícita para cada EDO abaixo e também suas soluções constantes.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
e pede (i) a família de soluções a um parâmetro na forma implícita e (ii) as soluções constantes. O conteúdo aqui é separação de variáveis.
Passo 2
Para achar as soluções constantes, impomos
, de modo que
Isto só ocorre se
Logo, a única solução constante é
.
Passo 3
Para as demais soluções, supondo
, separamos as variáveis:
Passo 4
Agora integramos ambos os lados:
No lado esquerdo temos
e no direito
Passo 5
Igualando e reorganizando, obtemos a forma implícita da família de soluções:
onde
é constante arbitrária.
Passo 6
Se quisermos explicitar
, basta inverter:
Resposta
Soluções constantes:
Família geral (implícita):