Escreva a integral tripla I=integralegral duplaR integral(3+2 y) d V, onde R é uma região no primeiro octante limitada pelo cone z=raizx^2+y^2, pelo cilindro x^2+y^2=1 e pelos planos coordenados.
Em coordenadas cartesianas

Passo 1

O enunciado pede para escrever, em coordenadas cartesianas, a integral tripla
I=integral triplaR(3+2y),dV
onde R é a região no primeiro octante limitada pelo cone z=raizx^2+y^2, pelo cilindro x^2+y^2=1 e pelos planos coordenados.

Passo 2

Como estamos no primeiro octante, temos
x>=0, y>=0, z>=0

Passo 3

A projeção de R no plano xy é o quarto de disco
x^2+y^2<=1, x>=0,;y>=0,
logo podemos tomar
0<= x<=1, 0<= y<=raiz1-x^2

Passo 4

Para cada (x,y) na projeção, a coordenada z varia entre o plano z=0 e o cone z=raizx^2+y^2, ou seja
0<= z<=raizx^2+y^2

Resposta

I=integralx=0^1integraly=0^raiz1-x^2integralz=0^raizx^2+y^2(3+2y),dz,dy,dx

Exercícios relacionados