Encontre uma família de soluções a um parâmetro na forma implícita para cada EDO abaixo e também suas soluções constantes.
e^3 x d yd x=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
e^3x,dydx=-1
encontrando uma família de soluções a um parâmetro na forma implícita e também possíveis soluções constantes. Aqui reconhecemos uma EDO de primeira ordem e separável.

Passo 2

Isolamos dydx e separamos variáveis:
dydx = -,e^-3x Longrightarrow dy = -,e^-3x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral dy = integral -,e^-3x,dx
y = integral -,e^-3x,dx = 13,e^-3x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para escrever a solução na forma implícita, basta rearranjar:
y - 13,e^-3x = C

Passo 5

Procuramos soluções constantes y=y0. Se y é constante, então dydx=0 e a EDO vira
e^3xcdot 0 = -1 Longrightarrow 0=-1,
o que não é possível. Portanto, não há soluções constantes.

Resposta

Família de soluções implícitas:
y - 13,e^-3x = C
Não existem soluções constantes.

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