Encontre uma família de soluções a um parâmetro na forma implícita para cada EDO abaixo e também suas soluções constantes.
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva a EDO
encontrando (1) a família de soluções com um parâmetro em forma implícita e (2) as soluções constantes. Vamos ver que, fazendo a mudança de variável
a equação fica separável em
e
.
Passo 2
Com
temos
e
. Substituindo na EDO original,
ou seja
Passo 3
Agora separamos variáveis: multiplicamos ambos os lados por
,
Em seguida integramos dos dois lados.
Passo 4
Calculemos as integrais. No lado de
:
e no lado de
u :
Logo a igualdade integradas dá
Passo 5
Voltando a
u=x+1 , a solução geral implícita fica
ou, equivalentemente,
onde
C' é constante arbitrária.
Passo 6
Para soluções constantes
y(x)=k teríamos
dy/dx=0 , e a EDO exigiria
o que é impossível (não há
k que anule
,x+6 para todo
x ). Portanto não existem soluções constantes não triviais.
Resposta
Família de soluções implícita:
Não há soluções constantes.