Encontre uma família de soluções a um parâmetro na forma implícita para cada EDO abaixo e também suas soluções constantes.
(x+1) cos (y^2) d yd x=x+6y

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a EDO
(x+1)cosl(y^2r),dydx ;=;x+6y
encontrando (1) a família de soluções com um parâmetro em forma implícita e (2) as soluções constantes. Vamos ver que, fazendo a mudança de variável
u = x+1,
a equação fica separável em u e y.

Passo 2

Com u=x+1 temos du=dx e x+6 = (u-1)+6 = u+5. Substituindo na EDO original,
ucos(y^2),dydu ;=;u+5y
ou seja
dydu ;=;u+5u,y,cos(y^2)

Passo 3

Agora separamos variáveis: multiplicamos ambos os lados por ycos(y^2),du,
ycos(y^2),dy ;=;u+5u,du
Em seguida integramos dos dois lados.

Passo 4

Calculemos as integrais. No lado de y:
integral ycos(y^2),dy =12integral cos(t),dt =12sin(t)|t=y^2 =12sinl(y^2r),
e no lado de u:
integral u+5u,du =integrall(1+5ur),du =u + 5lnlvert urvert
Logo a igualdade integradas dá
12sinl(y^2r) = u + 5lnlvert urvert + C

Passo 5

Voltando a u=x+1, a solução geral implícita fica
12sinl(y^2r) = x+1 + 5lnlvert x+1rvert + C,
ou, equivalentemente,
sinl(y^2r) = 2x + 2 + 10lnlvert x+1rvert + C',
onde C' é constante arbitrária.

Passo 6

Para soluções constantes y(x)=k teríamos dy/dx=0, e a EDO exigiria
0 = x+6kpara todo x,
o que é impossível (não há k que anule ,x+6 para todo x). Portanto não existem soluções constantes não triviais.

Resposta

Família de soluções implícita:
12sinl(y^2r) = x+1 + 5lnlvert x+1rvert + C
Não há soluções constantes.

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