Encontre uma família de soluções a um parâmetro na forma implícita para cada EDO abaixo e também suas soluções constantes.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
procurando (1) a família de soluções com um parâmetro em forma implícita e (2) as soluções constantes. O tipo de EDO aqui é separável, pois dá para isolar fatores de
de um lado e de
do outro.
Passo 2
Primeiro achamos as soluções constantes. Se
é constante então
, e a equação vira
Logo a única solução constante é
Passo 3
Para encontrar a família não-constante, assumimos
e reescrevemos
Agora separamos variáveis:
Passo 4
Integramos os dois lados:
No lado esquerdo
e no direito
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Isolando em forma implícita, dividimos por 3 e chamamos a constante
:
Resposta
Família geral em forma implícita:
e única solução constante: