Encontre uma família de soluções a um parâmetro na forma implícita para cada EDO abaixo e também suas soluções constantes.
x^2 / 3 y^prime=4 y^2 / 3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x^2/3,dydx=4,y^2/3
procurando (1) a família de soluções com um parâmetro em forma implícita e (2) as soluções constantes. O tipo de EDO aqui é separável, pois dá para isolar fatores de x de um lado e de y do outro.

Passo 2

Primeiro achamos as soluções constantes. Se yequiv y0 é constante então tfracdydx=0, e a equação vira
x^2/3cdot 0 = 4,y0^2/3Longrightarrow y0^2/3=0Longrightarrow y0=0
Logo a única solução constante é
y(x)=0

Passo 3

Para encontrar a família não-constante, assumimos yneq0 e reescrevemos
dydx =4,y^2/3x^2/3
Agora separamos variáveis:
y^-2/3,dy = 4,x^-2/3,dx

Passo 4

Integramos os dois lados:
integral y^-2/3,dy = integral 4,x^-2/3,dx
No lado esquerdo
integral y^-2/3,dy =y^1/31/3 =3,y^1/3,
e no direito
integral 4,x^-2/3,dx =4cdotx^1/31/3 =12,x^1/3
Portanto
3,y^1/3=12,x^1/3+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando em forma implícita, dividimos por 3 e chamamos a constante K=tfracC3:
y^1/3=4,x^1/3+K Long<=ftrightarrow y^1/3-4,x^1/3=K

Resposta

Família geral em forma implícita:
y^1/3-4,x^1/3=C,
e única solução constante:
y(x)=0

Exercícios relacionados